Как определить чётность или нечётность функции y = 4/x + 1/x^4 и найти её асимптоты: вертикальные, наклонные и горизонтальные?

Математика 11 класс Анализ функций четность функции нечетность функции Асимптоты функции вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты анализ функции математика 11 класс Новый

Чтобы определить чётность или нечётность функции y = 4/x + 1/x^4, нужно проверить, выполняется ли одно из следующих условий:

• Функция чётная, если f(-x) = f(x) для всех x из области определения функции.
• Функция нечётная, если f(-x) = -f(x) для всех x из области определения функции.

Теперь подставим -x в нашу функцию:

f(-x) = 4/(-x) + 1/(-x)^4 = -4/x + 1/x^4.

Теперь сравним f(-x) с f(x):

f(x) = 4/x + 1/x^4.

Сравниваем:

f(-x) = -4/x + 1/x^4 и f(x) = 4/x + 1/x^4.

Мы видим, что f(-x) не равно f(x) и f(-x) не равно -f(x). Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Теперь перейдём к нахождению асимптот функции.

1. Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где функция не определена, и стремится к бесконечности. В нашем случае, функция не определена при x = 0, так как в этой точке происходит деление на ноль. Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота:

• x = 0.

2. Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции при x, стремящемся к бесконечности или минус бесконечности. Мы исследуем пределы:

lim (x -> ∞) (4/x + 1/x^4) = 0 + 0 = 0.

lim (x -> -∞) (4/x + 1/x^4) = 0 + 0 = 0.

Таким образом, у нас есть горизонтальная асимптота:

• y = 0.

3. Наклонные асимптоты

Наклонные асимптоты существуют, если степень числителя больше степени знаменателя на 1. В нашем случае, степень числителя (0) равна степени знаменателя (1). Следовательно, наклонные асимптоты отсутствуют.

Итак, подводя итог, мы имеем:

• Вертикальная асимптота: x = 0.
• Горизонтальная асимптота: y = 0.
• Наклонные асимптоты: отсутствуют.