Как определить интервалы монотонности и экстремумы функции: -x^3 - 3x^2 + 9x + 8?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы монотонности экстремумы функции производная функции анализ функции математический анализ график функции критические точки свойства функции Новый

Чтобы определить интервалы монотонности и экстремумы функции f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x + 8, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции.

   Сначала мы находим первую производную функции f(x). Производная показывает, как быстро изменяется функция и помогает найти точки экстремума.

   Вычисляем производную:

   f'(x) = -3x^2 - 6x + 9

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравниваем f'(x) к нулю:

   -3x^2 - 6x + 9 = 0

   Упрощаем уравнение:

   x^2 + 2x - 3 = 0

   Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   где a = 1, b = 2, c = -3.

   Подставляем значения:

   x = (-2 ± √(2² - 4*1*(-3))) / (2*1)

   x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2 = (-2 ± √16) / 2 = (-2 ± 4) / 2

   Таким образом, мы получаем два корня:

   • x1 = 1
   • x2 = -3
3. Определить знаки производной на интервалах.

   Теперь мы определим знаки производной на интервалах, которые образуются критическими точками: (-∞, -3), (-3, 1) и (1, +∞).

   Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале:

   • Для интервала (-∞, -3), возьмем x = -4:

   f'(-4) = -3(-4)² - 6(-4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 (отрицательно)

   • Для интервала (-3, 1), возьмем x = 0:

   f'(0) = -3(0)² - 6(0) + 9 = 9 (положительно)

   • Для интервала (1, +∞), возьмем x = 2:

   f'(2) = -3(2)² - 6(2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 (отрицательно)

4. Определить интервалы монотонности.

   На основе знаков производной мы можем сделать выводы о монотонности:

   • На интервале (-∞, -3) функция убывает.
   • На интервале (-3, 1) функция возрастает.
   • На интервале (1, +∞) функция убывает.
5. Определить экстремумы.

   Теперь мы можем определить, где находятся экстремумы:

   • В точке x = -3 функция достигает максимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.
   • В точке x = 1 функция достигает минимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Таким образом, мы определили интервалы монотонности и экстремумы функции f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x + 8:

• Убывает на интервале (-∞, -3) и (1, +∞).
• Возрастает на интервале (-3, 1).
• Максимум в точке x = -3.
• Минимум в точке x = 1.