Как определить интервалы убывания функции f(x) = 1/4x^4 - 2/3x^3 * 1/2x^2 - 1?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы убывания функция f(x) производная функции анализ функции математический анализ график функции критические точки убывание функции нахождение интервалов 11 класс математика Новый

Чтобы определить интервалы убывания функции f(x) = (1/4)x^4 - (2/3)x^3 - (1/2)x^2 - 1, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x). Это поможет нам определить, где функция возрастает или убывает.

Для функции f(x) находим производную:

f'(x) = d/dx[(1/4)x^4] - d/dx[(2/3)x^3] - d/dx[(1/2)x^2] - d/dx[1]

Вычисляем производные каждого члена:

• d/dx[(1/4)x^4] = (1/4) * 4x^3 = x^3
• d/dx[(2/3)x^3] = (2/3) * 3x^2 = 2x^2
• d/dx[(1/2)x^2] = (1/2) * 2x = x
• d/dx[1] = 0

Теперь подставляем полученные производные в выражение для f'(x):

f'(x) = x^3 - 2x^2 - x

1. Упростить производную. Мы можем вынести общий множитель:

f'(x) = x(x^2 - 2x - 1)

1. Найти критические точки. Для этого решим уравнение f'(x) = 0:

Решаем уравнение:

x(x^2 - 2x - 1) = 0

Это уравнение равно нулю, если:

• x = 0
• x^2 - 2x - 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8

Корни уравнения:

x = (2 ± √8) / 2 = 1 ± √2

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1 + √2, x = 1 - √2.

1. Построить интервалы. Мы имеем три критические точки, которые разбивают числовую прямую на четыре интервала:

• (-∞, 1 - √2)
• (1 - √2, 0)
• (0, 1 + √2)
• (1 + √2, ∞)

1. Определить знак производной на каждом интервале. Для этого можно взять тестовые точки из каждого интервала и подставить их в f'(x).

Например:

• Для интервала (-∞, 1 - √2), возьмем x = -2. Подставляем: f'(-2) = -2((-2)^2 - 2(-2) - 1) = -2(4 + 4 - 1) = -2 * 7 < 0 (убывает).
• Для интервала (1 - √2, 0), возьмем x = -0.5. Подставляем: f'(-0.5) = -0.5((-0.5)^2 - 2(-0.5) - 1) = -0.5(0.25 + 1 + 1) = -0.5 * 2.25 < 0 (убывает).
• Для интервала (0, 1 + √2), возьмем x = 1. Подставляем: f'(1) = 1(1^2 - 2*1 - 1) = 1(1 - 2 - 1) = 1 * (-2) < 0 (убывает).
• Для интервала (1 + √2, ∞), возьмем x = 3. Подставляем: f'(3) = 3(3^2 - 2*3 - 1) = 3(9 - 6 - 1) = 3 * 2 > 0 (возрастает).

Таким образом, мы определили, что функция убывает на интервалах:

(-∞, 1 - √2), (1 - √2, 0), (0, 1 + √2)

Функция возрастает на интервале (1 + √2, ∞).