Чтобы определить интервалы убывания функции f(x) = (1/4)x^4 - (2/3)x^3 - (1/2)x^2 - 1, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x). Это поможет нам определить, где функция возрастает или убывает.

Для функции f(x) находим производную:

f'(x) = d/dx[(1/4)x^4] - d/dx[(2/3)x^3] - d/dx[(1/2)x^2] - d/dx[1]

Вычисляем производные каждого члена:

• d/dx[(1/4)x^4] = (1/4) * 4x^3 = x^3
• d/dx[(2/3)x^3] = (2/3) * 3x^2 = 2x^2
• d/dx[(1/2)x^2] = (1/2) * 2x = x
• d/dx[1] = 0

Теперь подставляем полученные производные в выражение для f'(x):

f'(x) = x^3 - 2x^2 - x

1. Упростить производную. Мы можем вынести общий множитель:

f'(x) = x(x^2 - 2x - 1)

1. Найти критические точки. Для этого решим уравнение f'(x) = 0:

Решаем уравнение:

x(x^2 - 2x - 1) = 0

Это уравнение равно нулю, если:

• x = 0
• x^2 - 2x - 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8

Корни уравнения:

x = (2 ± √8) / 2 = 1 ± √2

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1 + √2, x = 1 - √2.

1. Построить интервалы. Мы имеем три критические точки, которые разбивают числовую прямую на четыре интервала:

• (-∞, 1 - √2)
• (1 - √2, 0)
• (0, 1 + √2)
• (1 + √2, ∞)

1. Определить знак производной на каждом интервале. Для этого можно взять тестовые точки из каждого интервала и подставить их в f'(x).

Например:

• Для интервала (-∞, 1 - √2),возьмем x = -2. Подставляем: f'(-2) = -2((-2)^2 - 2(-2) - 1) = -2(4 + 4 - 1) = -2 * 7 < 0 (убывает).
• Для интервала (1 - √2, 0),возьмем x = -0.5. Подставляем: f'(-0.5) = -0.5((-0.5)^2 - 2(-0.5) - 1) = -0.5(0.25 + 1 + 1) = -0.5 * 2.25 < 0 (убывает).
• Для интервала (0, 1 + √2),возьмем x = 1. Подставляем: f'(1) = 1(1^2 - 2*1 - 1) = 1(1 - 2 - 1) = 1 * (-2) < 0 (убывает).
• Для интервала (1 + √2, ∞),возьмем x = 3. Подставляем: f'(3) = 3(3^2 - 2*3 - 1) = 3(9 - 6 - 1) = 3 * 2 > 0 (возрастает).

Таким образом, мы определили, что функция убывает на интервалах:

(-∞, 1 - √2),(1 - √2, 0),(0, 1 + √2)

Функция возрастает на интервале (1 + √2, ∞).