Как определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y = 0,25x^4 - 5,5x^2 + 36x^2 - 5x?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы выпуклости интервалы вогнутости точки перегиба функция y производная функции анализ функции математика 11 класс Новый

Чтобы определить интервалы выпуклости и вогнутости функции, а также найти точки перегиба, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Сначала запишем функцию:

y = 0,25x^4 - 5,5x^2 + 36x - 5

Теперь найдем первую производную функции y по x:

y' = d/dx(0,25x^4) - d/dx(5,5x^2) + d/dx(36x) - d/dx(5)

• y' = 1,0x^3 - 11x + 36

Шаг 2: Найдем вторую производную функции.

Теперь найдем вторую производную, которая поможет нам определить выпуклость и вогнутость:

y'' = d/dx(1,0x^3) - d/dx(11x) + d/dx(36)

• y'' = 3,0x^2 - 11

Шаг 3: Найдем точки перегиба.

Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю или не определена. Найдем корни уравнения:

3x^2 - 11 = 0

Решим это уравнение:

• 3x^2 = 11
• x^2 = 11/3
• x = ±√(11/3)

Таким образом, у нас есть две точки перегиба:

• x = √(11/3)
• x = -√(11/3)

Шаг 4: Определим интервалы выпуклости и вогнутости.

Теперь нужно определить знаки второй производной на интервалах, которые образуются точками перегиба. Мы будем исследовать интервалы:

• (-∞, -√(11/3))
• (-√(11/3), √(11/3))
• (√(11/3), +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -√(11/3)), например, x = -5:
• y''(-5) = 3(-5)^2 - 11 = 75 - 11 = 64 (положительно)
• Следовательно, функция выпуклая на этом интервале.

• Для интервала (-√(11/3), √(11/3)), например, x = 0:
• y''(0) = 3(0)^2 - 11 = -11 (отрицательно)
• Следовательно, функция вогнутая на этом интервале.

• Для интервала (√(11/3), +∞), например, x = 5:
• y''(5) = 3(5)^2 - 11 = 75 - 11 = 64 (положительно)
• Следовательно, функция выпуклая на этом интервале.

Итог:

Функция y = 0,25x^4 - 5,5x^2 + 36x - 5:

• Выпуклая на интервалах: (-∞, -√(11/3)) и (√(11/3), +∞)
• Вогнутая на интервале: (-√(11/3), √(11/3))
• Точки перегиба: x = ±√(11/3)