Чтобы определить промежутки монотонности функции у = x^4 - 4x - 6, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем искать производную функции, определять критические точки и исследовать знак производной на промежутках.

1. Найти производную функции.

   Производная функции у = x^4 - 4x - 6 будет равна:

   y' = 4x^3 - 4.

2. Найти критические точки.

   Для этого приравняем производную к нулю:

   4x^3 - 4 = 0.

   Решим это уравнение:

   1. 4x^3 = 4
   2. x^3 = 1
   3. x = 1.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 1.

3. Исследовать знак производной.

   Теперь мы должны определить знак производной y' на промежутках, которые образуются критической точкой. У нас есть два промежутка:

   • (-∞, 1)
   • (1, +∞)

   Выберем тестовые точки для каждого из промежутков:

   • Для промежутка (-∞, 1) можно взять x = 0:

   y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 (меньше 0).

   • Для промежутка (1, +∞) можно взять x = 2:

   y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 28 (больше 0).

4. Сделать выводы о монотонности.

   Теперь мы можем сделать выводы о монотонности функции:

   • На промежутке (-∞, 1) функция у убывает, так как производная отрицательна.
   • На промежутке (1, +∞) функция у возрастает, так как производная положительна.

Таким образом, функция у = x^4 - 4x - 6 убывает на промежутке (-∞, 1) и возрастает на промежутке (1, +∞).