Чтобы определить промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x) = x^3, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производных и анализом их знаков.

Первая производная f'(x) показывает, как изменяется функция f(x). Для функции f(x) = x^3 производная вычисляется следующим образом:

• f'(x) = 3x^2.

Вторая производная f''(x) поможет нам определить выпуклость функции. Вычисляем вторую производную:

• f''(x) = 6x.

Чтобы найти точки перегиба, нам нужно решить уравнение f''(x) = 0:

• 6x = 0
• x = 0.

Таким образом, x = 0 - это точка перегиба. В этой точке функция меняет свою выпуклость.

Теперь мы должны определить, на каких промежутках функция выпуклая или вогнутая. Для этого рассмотрим знак второй производной f''(x) = 6x:

• Если x < 0, то f''(x) < 0 (функция вогнута).
• Если x > 0, то f''(x) > 0 (функция выпукла).

• Точка перегиба: x = 0.
• Промежутки выпуклости:
  • Вогнутая: (-∞, 0).
  • Выпуклая: (0, +∞).

Таким образом, мы определили промежутки выпуклости и точку перегиба для функции f(x) = x^3.