Как определить точки экстремума функции Y=8+2х^2-x^4 и выяснить их характер?

Математика 11 класс Экстремумы функций точки экстремума функция y 8+2х^2-x^4 характер экстремума математика 11 класс Новый

Чтобы определить точки экстремума функции Y = 8 + 2x^2 - x^4, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найти производную функции. Для начала, найдем первую производную функции Y по переменной x:
• Y' = d(8 + 2x^2 - x^4)/dx = 0 + 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2).
2. Найти критические точки. Критическими точками будут те значения x, при которых первая производная равна нулю. Решим уравнение Y' = 0:
• 4x(1 - x^2) = 0.
• Это уравнение равно нулю, когда:
• 4x = 0, что дает x = 0;
• 1 - x^2 = 0, что дает x^2 = 1, а значит x = 1 или x = -1.
• Таким образом, критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.
3. Определить характер экстремумов. Для этого нам нужно использовать вторую производную функции Y:
• Найдём Y'': Y'' = d(4x(1 - x^2))/dx = 4(1 - x^2) + 4x(-2x) = 4(1 - 3x^2).
• Теперь подставим критические точки в Y'' и определим их характер:
• Для x = -1: Y''(-1) = 4(1 - 3(-1)^2) = 4(1 - 3) = 4(-2) = -8. Поскольку Y'' < 0, точка x = -1 - это максимум.
• Для x = 0: Y''(0) = 4(1 - 3(0)^2) = 4(1 - 0) = 4. Поскольку Y'' > 0, точка x = 0 - это минимум.
• Для x = 1: Y''(1) = 4(1 - 3(1)^2) = 4(1 - 3) = 4(-2) = -8. Поскольку Y'' < 0, точка x = 1 - это максимум.

Таким образом, мы определили, что:

• x = -1 - максимум;
• x = 0 - минимум;
• x = 1 - максимум.

Это и есть точки экстремума функции Y = 8 + 2x^2 - x^4 и их характер.