Для определения точек экстремумов функции необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Производная функции f(x) = 10cos(x) - 5x будет равна f'(x) = -10sin(x) - 5.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся путем приравнивания производной к нулю: -10sin(x) - 5 = 0.

   Решим это уравнение:

   • -10sin(x) = 5
   • sin(x) = -0.5

   Теперь найдем значения x, которые удовлетворяют этому уравнению. Значение sin(x) = -0.5 соответствует углам x = -π/6 + 2πk и x = 7π/6 + 2πk, где k - любое целое число.

3. Определить тип экстремума.

   Для этого можно использовать вторую производную или метод исследования знака первой производной в окрестности критических точек.

   Найдем вторую производную функции: f''(x) = -10cos(x).

   • Для x = -π/6 + 2πk: f''(-π/6) = -10cos(-π/6) = -10 * √3/2. Поскольку это значение отрицательное, то в точке x = -π/6 + 2πk функция имеет максимум.
   • Для x = 7π/6 + 2πk: f''(7π/6) = -10cos(7π/6) = -10 * (-√3/2). Поскольку это значение положительное, то в точке x = 7π/6 + 2πk функция имеет минимум.

Таким образом, точки экстремумов функции f(x) = 10cos(x) - 5x находятся при x = -π/6 + 2πk (максимумы) и x = 7π/6 + 2πk (минимумы), где k - любое целое число.