Как отобрать корни, принадлежащие отрезку [π; 3π/2], для уравнения cos(3x) = -1/2, если известны корни: x = ±2π/9 + 2/3πk, k∈Z?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций корни уравнения отрезок [π; 3π/2] cos(3x) = -1/2 x = ±2π/9 + 2/3πk k∈Z Новый

Чтобы отобрать корни, принадлежащие отрезку [π; 3π/2], начнем с того, что у нас есть общее решение уравнения cos(3x) = -1/2. Это решение записано в виде:

• x = ±2π/9 + 2/3πk, где k ∈ Z.

Здесь k — это любое целое число, и нам нужно найти такие значения k, при которых x будет находиться в заданном интервале [π; 3π/2].

Для начала, давайте рассмотрим оба случая: x = 2π/9 + 2/3πk и x = -2π/9 + 2/3πk.

1. Рассмотрим x = 2π/9 + 2/3πk:

Нам нужно решить неравенство:

• π ≤ 2π/9 + 2/3πk ≤ 3π/2.

Сначала решим левую часть неравенства:

• π ≤ 2π/9 + 2/3πk.

Вычтем 2π/9 из обеих сторон:

• π - 2π/9 ≤ 2/3πk.

Приведем π к общему знаменателю:

• 9π/9 - 2π/9 ≤ 2/3πk.

Это упрощается до:

• 7π/9 ≤ 2/3πk.

Теперь делим обе стороны на 2/3π:

• 7/9 ÷ (2/3) ≤ k.

Переписываем деление:

• 7/9 * 3/2 ≤ k.

Это дает:

• 7/6 ≤ k.

Так как k — целое число, то k ≥ 2.

Теперь решим правую часть неравенства:

• 2π/9 + 2/3πk ≤ 3π/2.

Вычтем 2π/9 из обеих сторон:

• 2/3πk ≤ 3π/2 - 2π/9.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

• 2/3πk ≤ (27π/18 - 4π/18).

Это упрощается до:

• 2/3πk ≤ 23π/18.

Теперь делим обе стороны на 2/3π:

• k ≤ 23/12.

Так как k — целое число, то k ≤ 1.

Таким образом, для x = 2π/9 + 2/3πk мы имеем:

• k = 2 или k = 1.

2. Теперь рассмотрим x = -2π/9 + 2/3πk:

Аналогично, решим неравенство:

• π ≤ -2π/9 + 2/3πk ≤ 3π/2.

Сначала решим левую часть:

• π + 2π/9 ≤ 2/3πk.

Приведем к общему знаменателю:

• 9π/9 + 2π/9 ≤ 2/3πk.

Это дает:

• 11π/9 ≤ 2/3πk.

Делим обе стороны на 2/3π:

• 11/9 ÷ (2/3) ≤ k.

Это упрощается до:

• 11/6 ≤ k.

Так как k — целое число, то k ≥ 2.

Теперь решим правую часть:

• -2π/9 + 2/3πk ≤ 3π/2.

Вычтем 2/3πk из обеих сторон:

• 2/3πk ≤ 3π/2 + 2π/9.

Приведем к общему знаменателю:

• 2/3πk ≤ (27π/18 + 4π/18).

Это упрощается до:

• 2/3πk ≤ 31π/18.

Делим обе стороны на 2/3π:

• k ≤ 31/12.

Так как k — целое число, то k ≤ 2.

Таким образом, для x = -2π/9 + 2/3πk мы имеем:

• k = 2 или k = 1.

Теперь подведем итоги:

Мы нашли возможные значения k:

• Для x = 2π/9 + 2/3πk: k = 2, 1.
• Для x = -2π/9 + 2/3πk: k = 2, 1.

Теперь подставим найденные значения k в формулы для x и проверим, какие из них попадают в интервал [π; 3π/2].

Подстановка:

• k = 2: x = 2π/9 + 4/3π = 2π/9 + 12/9π = 14/9π (не входит в интервал).
• k = 1: x = 2π/9 + 2/3π = 2π/9 + 6/9π = 8/9π (не входит в интервал).
• k = 2: x = -2π/9 + 4/3π = -2π/9 + 12/9π = 10/9π (не входит в интервал).
• k = 1: x = -2π/9 + 2/3π = -2π/9 + 6/9π = 4/9π (не входит в интервал).

Таким образом, в интервал [π; 3π/2] не попадает ни один из найденных корней. Значит, у уравнения cos(3x) = -1/2 нет корней в указанном интервале.