Как построить график функции с использованием производной?

y=-24x^3-24x+6

Математика 11 класс Графики функций и производные построить график функции производная функции график y=-24x^3-24x+6 Новый

Для построения графика функции y = -24x^3 - 24x + 6 с использованием производной, мы будем следовать нескольким шагам. Производная поможет нам определить, где функция возрастает и убывает, а также найти точки экстремума и точки перегиба. Давайте разберем процесс по шагам.

1. Найти производную функции.

   Производная функции y = -24x^3 - 24x + 6 будет вычисляться по правилам дифференцирования:

   • Производная от -24x^3 равна -72x^2.
   • Производная от -24x равна -24.
   • Производная от константы 6 равна 0.

   Таким образом, производная функции:

   y' = -72x^2 - 24.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

   -72x^2 - 24 = 0.

   Решим это уравнение:

   • Добавим 24 к обеим сторонам: -72x^2 = 24.
   • Разделим обе стороны на -72: x^2 = -24/72 = -1/3.

   Так как у нас не может быть действительных корней из отрицательного числа, это указывает на то, что производная не равна нулю для действительных значений x. Это значит, что функция не имеет критических точек.

3. Анализ знака производной.

   Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, мы можем исследовать знак производной:

   • Для всех x производная y' = -72x^2 - 24 всегда отрицательна (так как -72x^2 всегда не положительно, а -24 делает его меньше нуля).

   Это означает, что функция y убывает на всей области определения.

4. Найти точки перегиба.

   Для нахождения точек перегиба необходимо найти вторую производную:

   y'' = -144x.

   Приравняем вторую производную к нулю:

   -144x = 0.

   Отсюда x = 0. Это точка перегиба.

5. Построить график функции.

   Теперь, когда мы знаем, что функция убывает на всей области и имеет точку перегиба в x = 0, можно построить график:

   • Функция пересекает ось y в точке (0, 6).
   • При x < 0 функция убывает и, вероятно, будет иметь большие отрицательные значения.
   • При x > 0 функция также убывает и будет продолжать снижаться.

   Таким образом, график функции будет выглядеть как убывающая кривая, проходящая через точку (0, 6) и продолжающая вниз в обе стороны.

Теперь вы можете нарисовать график функции, используя полученные данные о поведении функции и ее производной.