Как построить график функции y=3x+2/2x-3, применяя производную?

Математика 11 класс Графики функций и производные построение графика функция y=3x+2/2x-3 производная математика 11 класс анализ функции

Для построения графика функции y = (3x + 2) / (2x - 3) с использованием производной, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала мы найдем производную функции y. Для этого применим правило деления:

Если у нас есть функция y = u/v, где u = 3x + 2 и v = 2x - 3, то производная y' будет вычисляться по формуле:

y' = (v * u' - u * v') / v²

Где:

• u' = производная u = 3
• v' = производная v = 2

Теперь подставим значения в формулу:

1. v * u' = (2x - 3) * 3
2. u * v' = (3x + 2) * 2

Теперь подставим эти выражения в формулу для производной:

y' = [(2x - 3) * 3 - (3x + 2) * 2] / (2x - 3)²

Упрощаем числитель:

1. (6x - 9) - (6x + 4) = 6x - 9 - 6x - 4 = -13

Таким образом, производная функции:

y' = -13 / (2x - 3)²

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена.

• Производная y' = 0, когда числитель равен нулю. В нашем случае, числитель -13 не равен нулю, значит, критических точек нет.
• Производная не определена, когда знаменатель равен нулю. Это происходит, когда 2x - 3 = 0, откуда x = 3/2.

Шаг 3: Определить интервалы возрастания и убывания

Теперь мы можем определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает, исследуя знак производной:

• Для x < 3/2, знаменатель (2x - 3)² положителен, следовательно, y' < 0, функция убывает.
• Для x > 3/2, знаменатель (2x - 3)² также положителен, следовательно, y' < 0, функция продолжает убывать.

Шаг 4: Найти асимптоты

Также нужно найти вертикальные и горизонтальные асимптоты:

• Вертикальная асимптота: 2x - 3 = 0, x = 3/2.
• Горизонтальная асимптота: при x → ±∞, y = 3/2.

Шаг 5: Построение графика

Теперь, зная производную и асимптоты, мы можем построить график:

• График функции убывает на всей области определения.
• График приближается к вертикальной асимптоте x = 3/2 и горизонтальной асимптоте y = 3/2.

Теперь вы можете нарисовать график функции, учитывая все найденные точки и асимптоты. Не забудьте отметить критическую точку и асимптоты на графике.

Друзья, давайте вместе погрузимся в увлекательный мир графиков и производных! Мы будем строить график функции y = (3x + 2) / (2x - 3) и использовать производную, чтобы понять, как эта функция ведет себя. Готовы? Поехали!

1. Найдем производную функции. Чтобы определить, как функция меняется, нам нужно найти производную y. Мы будем использовать правило частного:
• Если y = u/v, то y' = (u'v - uv') / v^2.
• Здесь u = 3x + 2, v = 2x - 3.
• Теперь найдем производные u' и v': u' = 3, v' = 2.
2. Подставим в формулу производной:
• y' = (3(2x - 3) - (3x + 2)(2)) / (2x - 3)^2.
• Упростим это выражение, чтобы получить более понятный вид производной!
3. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:
• Решим уравнение y' = 0, чтобы найти значения x, при которых функция имеет экстремумы.
4. Определим интервалы возрастания и убывания. Посмотрим, где производная положительна, а где отрицательна:
• Если y' > 0, функция возрастает.
• Если y' < 0, функция убывает.
5. Найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную и определим, где она меняет знак.
6. Построим график. Теперь, когда у нас есть все ключевые точки и интервалы:
• Нанесем на координатную плоскость точки, найденные на предыдущих этапах.
• Соединим точки плавной линией, учитывая, где функция возрастает и убывает.

Вот и все! Теперь у вас есть график функции y = (3x + 2) / (2x - 3), построенный с помощью производной! Это невероятное чувство, когда ты понимаешь, как работает математика! Удачи в дальнейших исследованиях!