Как построить график функции с помощью производной для следующего уравнения:

y=-4x^2+24x-2

Математика 11 класс Графики функций и производные построить график функции производная функции уравнение y=-4x^2+24x-2 график параболы анализ функции математика функции и производные Новый

Чтобы построить график функции y = -4x^2 + 24x - 2 с помощью производной, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Найти производную функции

Первым делом, найдем производную данной функции. Производная функции y по переменной x обозначается как y'. Для полинома, производная вычисляется по правилам дифференцирования:

• Производная от x^n равна n*x^(n-1).

Применим это правило к нашей функции:

• y' = d/dx(-4x^2) + d/dx(24x) + d/dx(-2)
• y' = -8x + 24.

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки функции — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем, где y' = 0:

• -8x + 24 = 0
• -8x = -24
• x = 3.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 3.

Шаг 3: Определить тип критической точки

Теперь, чтобы понять, является ли эта критическая точка минимумом или максимумом, мы можем использовать второй производной тест. Найдем вторую производную функции:

• y'' = d/dx(-8x + 24) = -8.

Вторая производная y'' = -8, что меньше нуля. Это означает, что функция имеет максимум в точке x = 3.

Шаг 4: Найти значение функции в критической точке

Теперь найдем значение функции y в критической точке x = 3:

• y(3) = -4(3^2) + 24(3) - 2
• y(3) = -4(9) + 72 - 2
• y(3) = -36 + 72 - 2
• y(3) = 34.

Таким образом, у нас есть точка максимума: (3, 34).

Шаг 5: Исследовать поведение функции на интервалах

Теперь нам нужно исследовать функцию на интервалах, чтобы понять, как она ведет себя слева и справа от критической точки:

• Для x < 3, например, x = 0: y'(0) = 24 > 0 (функция возрастает).
• Для x > 3, например, x = 4: y'(4) = -8(4) + 24 = -8 < 0 (функция убывает).

Это подтверждает, что в точке (3, 34) у нас действительно максимум.

Шаг 6: Построить график функции

Теперь мы можем построить график функции. У нас есть:

• Максимум в точке (3, 34).
• Парабола направлена вниз (коэффициент при x^2 отрицательный).

График будет выглядеть как перевернутая парабола, достигающая максимума в точке (3, 34) и убывающая в обе стороны от этой точки.

Теперь вы можете нарисовать график, используя эти точки и поведение функции, чтобы получить полное представление о графике функции y = -4x^2 + 24x - 2.