Как рассчитать площадь плоской фигуры, которая ограничена линиями у=4-х^2 и у=0?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь плоской фигуры у=4-х^2 у=0 расчет площади математика 11 класс графики функций интегралы геометрия площадь фигуры Новый

Для того чтобы рассчитать площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=4-х^2 и у=0, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Сначала нужно найти точки пересечения кривой у=4-х^2 и оси у=0. Для этого приравняем у=4-x^2 к нулю:

• 4 - x^2 = 0
• x^2 = 4
• x = ±2

Таким образом, наши границы интегрирования по x будут от -2 до 2.

Шаг 2: Определение функции, которая описывает фигуру

Фигура ограничена сверху кривой у=4-x^2 и снизу осью у=0. Площадь этой фигуры можно найти, используя интеграл:

Шаг 3: Запись интеграла для площади

Площадь S можно выразить через интеграл:

S = ∫(от -2 до 2) (4 - x^2) dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь нужно вычислить интеграл:

1. Находим первообразную функции 4-x^2:
• ∫(4 - x^2) dx = 4x - (x^3)/3 + C
2. Теперь подставим границы интегрирования:
• S = [4x - (x^3)/3] (от -2 до 2)
3. Сначала подставим верхнюю границу (x=2):
• 4*2 - (2^3)/3 = 8 - 8/3 = 24/3 - 8/3 = 16/3
4. Теперь подставим нижнюю границу (x=-2):
• 4*(-2) - ((-2)^3)/3 = -8 + 8/3 = -24/3 + 8/3 = -16/3
5. Теперь вычтем значение нижней границы из верхней:
• S = (16/3) - (-16/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3

Шаг 5: Заключение

Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=4-х^2 и у=0, равна 32/3 единиц площади.