Как вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y=x-x^2+2 и y=-x?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь области графики функций вычисление площади y=x-x^2+2 y=-x математика 11 класс интегралы пересечение графиков Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций y = x - x^2 + 2 и y = -x, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения графиков:

Для этого приравняем обе функции:

x - x^2 + 2 = -x

Переносим все члены в одну сторону:

x + x - x^2 + 2 = 0

Упрощаем уравнение:

-x^2 + 2x + 2 = 0

Умножим на -1, чтобы упростить решение:

x^2 - 2x - 2 = 0

Теперь используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12

Находим корни уравнения:

x1,2 = (2 ± √12) / 2 = 1 ± √3

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 1 - √3 и x = 1 + √3.

2. Найти площадь между графиками:

Площадь области между графиками можно найти, вычислив интеграл от разности функций на интервале от x1 до x2:

Площадь = ∫[x1, x2] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя функция, а g(x) - нижняя.

В нашем случае, f(x) = x - x^2 + 2, g(x) = -x. Проверим, какая функция больше на данном интервале:

Подставим, например, x = 1:

f(1) = 1 - 1^2 + 2 = 2

g(1) = -1

Таким образом, f(x) > g(x) на данном интервале.

3. Вычислить интеграл:

Теперь вычисляем:

Площадь = ∫[1 - √3, 1 + √3] ((x - x^2 + 2) - (-x)) dx

Упрощаем подынтегральное выражение:

Площадь = ∫[1 - √3, 1 + √3] (x - x^2 + 2 + x) dx = ∫[1 - √3, 1 + √3] (-x^2 + 2x + 2) dx

4. Вычисляем интеграл:

Находим первообразную:

∫(-x^2 + 2x + 2) dx = -1/3 * x^3 + x^2 + 2x + C

Теперь подставляем пределы интегрирования:

Площадь = [-1/3 * (1 + √3)^3 + (1 + √3)^2 + 2(1 + √3)] - [-1/3 * (1 - √3)^3 + (1 - √3)^2 + 2(1 - √3)]

5. Вычислить значение:

После подстановки и упрощения вы получите численное значение площади.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти площадь области, заключенной между графиками данных функций.