Какова площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² + 2 и у = -х?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь фигуры у = х² + 2 у = -х математика 11 класс интегралы графики функций нахождение площади Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 2 и y = -x, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения:
• x² + 2 = -x
2. Переносим все члены в одну сторону уравнения:
• x² + x + 2 = 0
3. Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7
4. Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что кривые не пересекаются.

Теперь мы определим, какая из функций выше другой. Для этого выберем произвольное значение x. Например, пусть x = 0:

• y = 0² + 2 = 2
• y = -0 = 0

Значит, при x = 0, функция y = x² + 2 выше функции y = -x. Это верно для всех значений x, так как парабола y = x² + 2 всегда находится выше прямой y = -x.

Теперь мы можем найти площадь между этими кривыми. Площадь будет вычисляться по формуле:

Площадь = интеграл от a до b (верхняя функция - нижняя функция) dx.

В данном случае:

• Верхняя функция: y = x² + 2
• Нижняя функция: y = -x

Площадь = интеграл от -∞ до +∞ ((x² + 2) - (-x)) dx.

Однако, так как кривые не пересекаются, мы можем рассмотреть только область, где y = x² + 2 всегда выше y = -x. Для нахождения площади ограниченной областью, необходимо определить границы интегрирования. В данном случае, так как у нас нет пересечений, мы можем взять некоторые произвольные границы, например, от x = -2 до x = 2.

Теперь вычислим интеграл:

Площадь = интеграл от -2 до 2 ((x² + 2) + x) dx.

Это равняется:

• Интеграл от -2 до 2 (x² + x + 2) dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

• Интеграл от x² = (1/3)x³
• Интеграл от x = (1/2)x²
• Интеграл от 2 = 2x

Теперь подставляем пределы от -2 до 2:

• ((1/3)(2)³ + (1/2)(2)² + 2(2)) - ((1/3)(-2)³ + (1/2)(-2)² + 2(-2))

Вычисляем значения:

• =(8/3 + 2 + 4) - (-8/3 + 2 - 4)
• = (8/3 + 6) - (-8/3 - 2)

Теперь подытожим и найдем окончательный результат:

Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, равна....

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!