Чтобы разложить на множители выражение x^3 + 27y^3 + x^2 - 3xy + 9y^2, давайте сначала заметим, что это выражение можно представить в виде суммы кубов и других членов.

1. Обратите внимание на первый и второй члены: x^3 + 27y^3. Это сумма кубов, которую можно разложить по формуле:

• a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),

где a = x и b = 3y (поскольку 27y^3 = (3y)^3).

2. Применим эту формулу:

• Сначала находим a + b = x + 3y.
• Теперь находим a^2 - ab + b^2 = x^2 - x(3y) + (3y)^2 = x^2 - 3xy + 9y^2.

Таким образом, мы можем записать:

x^3 + 27y^3 = (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2).

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

x^3 + 27y^3 + x^2 - 3xy + 9y^2 = (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) + x^2 - 3xy + 9y^2.

4. Обратите внимание, что у нас есть общий множитель (x^2 - 3xy + 9y^2). Вынесем его за скобки:

= (x^2 - 3xy + 9y^2)((x + 3y) + 1).

5. Упростим выражение в скобках:

(x + 3y) + 1 = x + 3y + 1.

Таким образом, окончательно мы получаем:

x^3 + 27y^3 + x^2 - 3xy + 9y^2 = (x^2 - 3xy + 9y^2)(x + 3y + 1).

Это и есть разложение данного выражения на множители.