Как решить неравенство: 0 ≤ x² - 1 ≤ 1?

Математика 11 класс Неравенства неравенство решение неравенства математика 11 класс x² - 1 математические задачи алгебра неравенства в алгебре Новый

Для решения неравенства 0 ≤ x² - 1 ≤ 1, мы можем разбить его на два отдельных неравенства:

1. Первое неравенство: 0 ≤ x² - 1
2. Второе неравенство: x² - 1 ≤ 1

Теперь решим каждое из этих неравенств по отдельности.

1. Решение первого неравенства: 0 ≤ x² - 1

Перепишем его в более удобной форме:

x² - 1 ≥ 0

Добавим 1 к обеим частям неравенства:

x² ≥ 1

Теперь найдем корни уравнения x² = 1. Это уравнение имеет два корня:

• x = 1
• x = -1

Теперь определим, на каких интервалах выполняется неравенство x² ≥ 1. Мы можем использовать тестовые точки для интервалов:

• Интервал (-∞, -1): Например, x = -2: (-2)² = 4 ≥ 1 (истинно)
• Интервал (-1, 1): Например, x = 0: 0² = 0 < 1 (ложно)
• Интервал (1, +∞): Например, x = 2: (2)² = 4 ≥ 1 (истинно)

Таким образом, решение первого неравенства: x ≤ -1 или x ≥ 1.

2. Решение второго неравенства: x² - 1 ≤ 1

Перепишем его так:

x² - 1 ≤ 1

Добавим 1 к обеим частям неравенства:

x² ≤ 2

Теперь найдем корни уравнения x² = 2. Это уравнение также имеет два корня:

• x = √2
• x = -√2

Теперь определим, на каких интервалах выполняется неравенство x² ≤ 2. Мы снова используем тестовые точки:

• Интервал (-∞, -√2): Например, x = -2: (-2)² = 4 > 2 (ложно)
• Интервал (-√2, √2): Например, x = 0: 0² = 0 ≤ 2 (истинно)
• Интервал (√2, +∞): Например, x = 2: (2)² = 4 > 2 (ложно)

Таким образом, решение второго неравенства: -√2 ≤ x ≤ √2.

3. Объединение решений

Теперь мы объединим решения обоих неравенств:

• Первое неравенство: x ≤ -1 или x ≥ 1
• Второе неравенство: -√2 ≤ x ≤ √2

Теперь определим пересечение этих решений:

• Для x ≤ -1: пересечение с -√2 ≤ x ≤ √2 дает x ≤ -1.
• Для x ≥ 1: пересечение с -√2 ≤ x ≤ √2 дает 1 ≤ x ≤ √2.

Таким образом, окончательное решение неравенства 0 ≤ x² - 1 ≤ 1:

x ≤ -1 или 1 ≤ x ≤ √2.