Чтобы решить неравенство (√5 - 2)^((x^2 - 10x + 16)/(x - 2)) ≥ 1, начнем с анализа его частей.

Шаг 1: Определим, когда основание больше или меньше единицы.

• Основание √5 - 2. Поскольку √5 примерно равно 2.236, то √5 - 2 примерно равно 0.236. Это значение больше 0 и меньше 1.

Шаг 2: Преобразуем неравенство.

Так как основание меньше 1, неравенство (√5 - 2)^A ≥ 1 будет выполняться, когда A ≤ 0. Поэтому нам нужно решить неравенство:

(x^2 - 10x + 16)/(x - 2) ≤ 0.

Шаг 3: Найдем корни числителя.

Решим уравнение x^2 - 10x + 16 = 0. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36.
• Корни: x1 = (10 + √36)/2 = 8, x2 = (10 - √36)/2 = 2.

Шаг 4: Определим, где дробь (x^2 - 10x + 16)/(x - 2) ≤ 0.

Мы имеем два корня: x = 2 и x = 8. Заметим, что x = 2 делает знаменатель равным нулю, поэтому это значение необходимо исключить из области определения.

Шаг 5: Построим интервал и исследуем знак дроби.

Рассмотрим интервалы:

• (-∞, 2)
• (2, 8)
• (8, +∞)

Теперь проверим знак дроби в каждом интервале:

1. Для x < 2, например x = 0: (0^2 - 10*0 + 16)/(0 - 2) = 16 / (-2) < 0.
2. Для 2 < x < 8, например x = 4: (4^2 - 10*4 + 16)/(4 - 2) = (16 - 40 + 16)/2 = (-8)/2 < 0.
3. Для x > 8, например x = 9: (9^2 - 10*9 + 16)/(9 - 2) = (81 - 90 + 16)/(7) = 7/7 > 0.

Шаг 6: Составим ответ.

Таким образом, дробь (x^2 - 10x + 16)/(x - 2) ≤ 0 на интервалах (-∞, 2) и (2, 8].

Не забываем, что x = 2 не входит в область определения. Поэтому окончательный ответ:

x ∈ (-∞, 2) ∪ (2, 8].