Как решить неравенство х(3х-6)(1-х)≥0?

Математика 11 класс Неравенства решение неравенства неравенство х(3х-6)(1-х)≥0 математика 11 класс алгебра неравенства математические методы Новый

Чтобы решить неравенство х(3х-6)(1-х)≥0, следуем следующим шагам:

1. Найдем нули функции: Для начала, нам нужно определить, при каких значениях x произведение х(3х-6)(1-х) равно нулю. Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
• Первый множитель: х = 0.
• Второй множитель: 3х - 6 = 0 → 3х = 6 → х = 2.
• Третий множитель: 1 - х = 0 → х = 1.
2. Запишем все найденные значения: Таким образом, нули функции: x = 0, x = 1, x = 2.
3. Определим интервалы: Эти нули делят числовую ось на четыре интервала:
• (-∞, 0)
• (0, 1)
• (1, 2)
• (2, +∞)
4. Проверим знак на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:
• Для интервала (-∞, 0), например, x = -1:
  • -1(3(-1)-6)(1-(-1)) = -1(-3-6)(2) = -1(-9)(2) = 18 > 0 (положительный).
• Для интервала (0, 1), например, x = 0.5:
  • 0.5(3(0.5)-6)(1-0.5) = 0.5(1.5-6)(0.5) = 0.5(-4.5)(0.5) = -1.125 < 0 (отрицательный).
• Для интервала (1, 2), например, x = 1.5:
  • 1.5(3(1.5)-6)(1-1.5) = 1.5(4.5-6)(-0.5) = 1.5(-1.5)(-0.5) = 1.125 > 0 (положительный).
• Для интервала (2, +∞), например, x = 3:
  • 3(3(3)-6)(1-3) = 3(9-6)(-2) = 3(3)(-2) = -18 < 0 (отрицательный).
5. Соберем результаты: Мы получили следующие знаки на интервалах:
• (-∞, 0): положительный
• (0, 1): отрицательный
• (1, 2): положительный
• (2, +∞): отрицательный
6. Определим, где неравенство выполняется: Мы ищем, где произведение больше или равно нулю. Это происходит на интервалах (-∞, 0) и (1, 2), а также в точках x = 0, x = 1 и x = 2.
7. Запишем ответ: Ответ: x ∈ (-∞, 0] ∪ [1, 2].

Таким образом, решение неравенства х(3х-6)(1-х)≥0 - это объединение интервалов, где функция принимает значения больше или равные нулю.