Как решить неравенство (x^2-1)(x+3) < 0 методом интервала, с подробными объяснениями?

Математика 11 класс Неравенства неравенство метод интервалов решение неравенств математика 11 класс подробные объяснения Новый

Решение неравенства (x^2 - 1)(x + 3) < 0 методом интервала можно разбить на несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Сначала определим, при каких значениях x выражение (x^2 - 1)(x + 3) равно нулю. Для этого найдем корни каждого множителя.

• Первый множитель: x^2 - 1 = 0. Это уравнение можно разложить на множители:
• x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0
• Корни: x = 1 и x = -1.
• Второй множитель: x + 3 = 0. Здесь просто:
• x = -3.

Таким образом, нули выражения (x^2 - 1)(x + 3) находятся в точках x = -3, x = -1 и x = 1.

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

• (-∞, -3)
• (-3, -1)
• (-1, 1)
• (1, +∞)

Шаг 3: Выберем тестовые точки

Для каждого интервала выберем тестовую точку и подставим её в неравенство (x^2 - 1)(x + 3) < 0, чтобы определить знак выражения в этом интервале.

• Для интервала (-∞, -3): выберем точку x = -4.
• (-4)^2 - 1 = 16 - 1 = 15 > 0
• (-4 + 3) = -1 < 0
• Знак: (15)(-1) < 0 (интервал подходит).
• Для интервала (-3, -1): выберем точку x = -2.
• (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0
• (-2 + 3) = 1 > 0
• Знак: (3)(1) > 0 (интервал не подходит).
• Для интервала (-1, 1): выберем точку x = 0.
• (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1 < 0
• (0 + 3) = 3 > 0
• Знак: (-1)(3) < 0 (интервал подходит).
• Для интервала (1, +∞): выберем точку x = 2.
• (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0
• (2 + 3) = 5 > 0
• Знак: (3)(5) > 0 (интервал не подходит).

Шаг 4: Запишем ответ

Таким образом, мы определили, что неравенство (x^2 - 1)(x + 3) < 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -3)
• (-1, 1)

Так как в точках x = -3, x = -1 и x = 1 выражение равно нулю, эти точки не включаются в ответ. Поэтому окончательный ответ:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-1, 1).