Как решить неравенство: (x ^ 2 + 5x + 6)(x ^ 4 - x^ 3 - 6x^ 2) < 0?

Математика 11 класс Неравенства решение неравенства неравенства с многочленами математика 11 класс алгебра решение задач по математике Новый

Для решения неравенства (x^2 + 5x + 6)(x^4 - x^3 - 6x^2) < 0, нам нужно сначала определить, когда каждый из множителей меньше или больше нуля. Для этого мы будем решать два отдельных уравнения, а затем анализировать знаки произведения.

Шаг 1: Решение первого множителя

Рассмотрим первый множитель: x^2 + 5x + 6.

Мы можем найти его корни, используя дискриминант:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

• x1 = (-b + √D) / 2a = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2,
• x2 = (-b - √D) / 2a = (-5 - 1) / 2 = -6 / 2 = -3.

Теперь мы знаем, что x^2 + 5x + 6 = 0 при x = -2 и x = -3. Чтобы определить знаки этого выражения, мы можем провести анализ знаков на интервалах:

• На интервале (-∞, -3) выражение положительно,
• На интервале (-3, -2) выражение отрицательно,
• На интервале (-2, +∞) выражение положительно.

Шаг 2: Решение второго множителя

Теперь рассмотрим второй множитель: x^4 - x^3 - 6x^2.

Для упрощения, вынесем общий множитель x^2:

x^2(x^2 - x - 6) < 0.

Теперь мы можем решить уравнение x^2 - x - 6 = 0. Найдем его корни:

• Дискриминант D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.

Корни:

• x1 = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3,
• x2 = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь у нас есть корни x = -2 и x = 3. Анализируя знаки второго множителя:

• На интервале (-∞, -2) выражение положительно,
• На интервале (-2, 0) выражение отрицательно (так как x^2 < 0),
• На интервале (0, 3) выражение отрицательно,
• На интервале (3, +∞) выражение положительно.

Шаг 3: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить результаты анализа знаков обоих множителей:

• На интервале (-∞, -3): (положительно) * (положительно) = положительно.
• На интервале (-3, -2): (отрицательно) * (положительно) = отрицательно.
• На интервале (-2, 0): (положительно) * (отрицательно) = отрицательно.
• На интервале (0, 3): (положительно) * (отрицательно) = отрицательно.
• На интервале (3, +∞): (положительно) * (положительно) = положительно.

Шаг 4: Запись решения

Теперь мы можем записать решение неравенства (x^2 + 5x + 6)(x^4 - x^3 - 6x^2) < 0. Оно будет выполнено на следующих интервалах:

• (-3, -2),
• (-2, 0),
• (0, 3).

Таким образом, ответ на неравенство: x ∈ (-3, -2) ∪ (-2, 0) ∪ (0, 3).