Как решить систему неравенств: 4x²-1>0 и x²-x-2≥0?

Математика 11 класс Неравенства и системы неравенств решение системы неравенств 4x²-1>0 x²-x-2≥0 неравенства математика математические неравенства система неравенств методы решения неравенств Новый

Чтобы решить систему неравенств 4x² - 1 > 0 и x² - x - 2 ≥ 0, начнем с каждого неравенства по отдельности.

1. Решение первого неравенства: 4x² - 1 > 0

Это неравенство можно переписать в более удобной форме:

• 4x² > 1
• x² > 1/4

Теперь извлечем корень из неравенства:

• x > 1/2
• x < -1/2

Таким образом, решение первого неравенства:

x < -1/2 или x > 1/2

2. Решение второго неравенства: x² - x - 2 ≥ 0

Сначала найдем корни уравнения x² - x - 2 = 0. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9
• Корни уравнения: x1 = (1 + √D)/2a = (1 + 3)/2 = 2 и x2 = (1 - √D)/2a = (1 - 3)/2 = -1

Теперь у нас есть корни x = 2 и x = -1. Разобьем числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак выражения x² - x - 2 на каждом из этих интервалов:

• Для x < -1, например, x = -2: (-2)² - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (положительно)
• Для -1 < x < 2, например, x = 0: 0² - 0 - 2 = -2 (отрицательно)
• Для x > 2, например, x = 3: 3² - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительно)

Таким образом, решение второго неравенства:

x ≤ -1 или x ≥ 2

3. Объединение решений

Теперь мы имеем два решения:

• Первое неравенство: x < -1/2 или x > 1/2
• Второе неравенство: x ≤ -1 или x ≥ 2

Теперь найдем пересечение этих решений:

• Для первого случая x < -1/2 и x ≤ -1: здесь мы получаем x ≤ -1.
• Для второго случая x > 1/2 и x ≥ 2: здесь получаем x ≥ 2.

Таким образом, окончательное решение системы неравенств:

x ≤ -1 или x ≥ 2