Какова наибольшая разность между 17-ю положительными числами, сумма которых равна 35, если отношение любых двух из этих чисел не превышает 1,5?

Математика 11 класс Неравенства и системы неравенств разность положительные числа сумма 35 отношение 1.5 математика задача 11 класс максимальная разность Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим наши 17 положительных чисел как x1, x2, ..., x17. Нам нужно найти наибольшую разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел, при этом сумма всех чисел равна 35, а отношение любых двух из них не превышает 1,5.

Сначала запишем условия:

• x1 + x2 + ... + x17 = 35
• Для любых i и j: xi / xj ≤ 1,5

Из второго условия следует, что если мы обозначим наименьшее число как x_min и наибольшее как x_max, то:

• x_max ≤ 1,5 * x_min

Теперь, чтобы максимизировать разность x_max - x_min, давайте выразим x_max через x_min:

• x_max = 1,5 * x_min

Подставим это выражение в уравнение суммы:

• x_min + x_min + ... + x_min + 1,5 * x_min + ... + 1,5 * x_min = 35

Здесь у нас 17 чисел, из которых k чисел равны x_min, а остальные (17 - k) равны x_max. Если мы обозначим количество x_min как k, то количество x_max будет равно 17 - k.

Тогда у нас получится:

• k * x_min + (17 - k) * (1,5 * x_min) = 35

Раскроем скобки:

• k * x_min + 17 * 1,5 * x_min - k * 1,5 * x_min = 35

Упрощаем:

• (k + 25,5 - 1,5k) * x_min = 35

Это можно упростить до:

• (25,5 - 0,5k) * x_min = 35

Теперь выразим x_min:

• x_min = 35 / (25,5 - 0,5k)

Теперь мы можем найти x_max:

• x_max = 1,5 * x_min = 1,5 * (35 / (25,5 - 0,5k))

Теперь нам нужно найти разность:

• x_max - x_min = 1,5 * (35 / (25,5 - 0,5k)) - (35 / (25,5 - 0,5k)) = (35 / (25,5 - 0,5k)) * (1,5 - 1)

Таким образом, разность:

• x_max - x_min = (35 / (25,5 - 0,5k)) * 0,5

Теперь, чтобы максимизировать разность, нужно минимизировать (25,5 - 0,5k). Это происходит, когда k максимально. При k = 17, x_min будет равно 35/25,5, а x_max = 1,5 * x_min.

Однако, если k = 17, то все числа равны, и разность равна нулю. Поэтому мы должны уменьшить k до 16, чтобы получить хотя бы одно число больше.

При k = 16:

• x_min = 35 / (25,5 - 0,5 * 16) = 35 / (25,5 - 8) = 35 / 17,5 = 2
• x_max = 1,5 * x_min = 1,5 * 2 = 3

Разность:

• x_max - x_min = 3 - 2 = 1

Теперь проверим, что сумма чисел равна 35:

• 16 * 2 + 1 * 3 = 32 + 3 = 35

Таким образом, наибольшая разность между 17-ю положительными числами, сумма которых равна 35 и отношение которых не превышает 1,5, равна 1.

Ответ: 1