Давайте разберем каждую из систем и совокупностей неравенств по очереди.

1. Решение системы неравенств:

1. Неравенство: x - 4 < 7 - x < 20

Это двойное неравенство, которое можно решить, разделив его на две части:

• Часть 1: x - 4 < 7 - x
• Часть 2: 7 - x < 20

Решим каждую часть отдельно:

• Для части 1: x - 4 < 7 - x

Добавим x к обеим частям: 2x - 4 < 7

Добавим 4 к обеим частям: 2x < 11

Разделим на 2: x < 5.5

• Для части 2: 7 - x < 20

Вычтем 7 из обеих частей: -x < 13

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства: x > -13

Таким образом, решение первого неравенства: -13 < x < 5.5

2. Неравенство: (x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 7) < 0

Определим корни: x = 2, 3, 4, 7. Это точки, где выражение может менять знак. Разобьем числовую прямую на интервалы: (-∞, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 7), (7, ∞).

Проверим знак выражения на каждом интервале:

• На (-∞, 2): все скобки отрицательны, произведение положительно.
• На (2, 3): одна скобка положительна, произведение отрицательно.
• На (3, 4): две скобки положительны, произведение положительно.
• На (4, 7): три скобки положительны, произведение отрицательно.
• На (7, ∞): все скобки положительны, произведение положительно.

Решение второго неравенства: x ∈ (2, 3) ∪ (4, 7)

3. Общая система: Решение системы - пересечение решений:

Пересечение: x ∈ (2, 3) ∪ (4, 5.5)

2. Решение второй системы неравенств:

1. Неравенство: (x - 3)(x + 9)(x - 1) ≥ 0

Корни: x = 3, -9, 1. Разобьем на интервалы: (-∞, -9), (-9, 1), (1, 3), (3, ∞).

Проверяем знаки:

• На (-∞, -9): все скобки отрицательны, произведение отрицательно.
• На (-9, 1): одна скобка положительна, произведение положительно.
• На (1, 3): две скобки положительны, произведение отрицательно.
• На (3, ∞): все скобки положительны, произведение положительно.

Решение: x ∈ [-9, 1] ∪ [3, ∞)

2. Неравенство: x(x - 3)(x + 10) ≥ 0

Корни: x = 0, 3, -10. Разобьем на интервалы: (-∞, -10), (-10, 0), (0, 3), (3, ∞).

Проверяем знаки:

• На (-∞, -10): все скобки отрицательны, произведение отрицательно.
• На (-10, 0): одна скобка положительна, произведение положительно.
• На (0, 3): две скобки положительны, произведение отрицательно.
• На (3, ∞): все скобки положительны, произведение положительно.

Решение: x ∈ [-10, 0] ∪ [3, ∞)

3. Общая система: Пересечение решений:

Пересечение: x ∈ [-9, 0] ∪ [3, ∞)

3. Решение совокупности неравенств:

1. Неравенство: (x² + 14x + 49)(x - 3) ≥ 0

Первый множитель: x² + 14x + 49 = (x + 7)², корень x = -7.

Второй множитель: корень x = 3.

Разобьем на интервалы: (-∞, -7), (-7, 3), (3, ∞).

Проверяем знаки:

• На (-∞, -7): первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.
• На (-7, 3): первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.
• На (3, ∞): оба множителя положительны, произведение положительно.

Решение: x ∈ [3, ∞)

2. Неравенство: x + 7 < 0

Решение: x < -7

3. Общая совокупность: Объединение решений:

Объединение: x ∈ (-∞, -7) ∪ [3, ∞)

4. Решение совокупности неравенств:

1. Неравенство: (x² - 12x + 36)(x² - 1) < 0

Первый множитель: (x - 6)², корень x = 6.

Второй множитель: (x - 1)(x + 1), корни x = 1, -1.

Разобьем на интервалы: (-∞, -1), (-1, 1), (1, 6), (6, ∞).

Проверяем знаки:

• На (-∞, -1): первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.
• На (-1, 1): первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.
• На (1, 6): оба множителя положительны, произведение положительно.
• На (6, ∞): первый множитель положителен, второй положителен, произведение положительно.

Решение: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1)

2. Неравенство: x - 8 ≤ 0

Решение: x ≤ 8

3. Общая совокупность: Объединение решений:

Объединение: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1)