Как решить уравнение: 2cos^2 x - cos x - 1 = 0?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение решение уравнения cos Тригонометрия математика 11 класс Новый

Для решения уравнения 2cos²x - cos x - 1 = 0, начнем с того, что это квадратное уравнение относительно cos x. Давайте обозначим:

y = cos x

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

2y² - y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 2
• b = -1
• c = -1

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

y = (1 ± √((-1)² - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)

Посчитаем дискриминант:

D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу для нахождения корней:

y = (1 ± √9) / 4

Так как √9 = 3, то у нас есть два корня:

y₁ = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1

y₂ = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь мы нашли значения cos x:

• cos x = 1
• cos x = -1/2

Теперь найдем x для каждого из этих значений:

1. cos x = 1:

Это происходит, когда:

x = 2kπ, где k - целое число.

2. cos x = -1/2:

Это происходит, когда:

x = 2kπ ± 2π/3, где k - целое число.

Таким образом, обобщая, мы получаем все решения уравнения:

• x = 2kπ, где k - целое число;
• x = 2kπ + 2π/3, где k - целое число;
• x = 2kπ - 2π/3, где k - целое число.

Это и есть все решения уравнения 2cos²x - cos x - 1 = 0.