Чтобы решить уравнение 3 ctg^2 (3pi/2+x/3) - 2 tg (x/3) = 1, следуем следующим шагам:

1. Сначала упростим выражение ctg(3pi/2 + x/3). Мы знаем, что ctg(3pi/2 + α) = -tg(α). Это значит, что:

   • ctg(3pi/2 + x/3) = -tg(x/3)

2. Теперь подставим это выражение в уравнение:

   • 3(-tg(x/3))^2 - 2tg(x/3) = 1

3. Упростим уравнение:

   • 3tg^2(x/3) - 2tg(x/3) - 1 = 0

4. Теперь обозначим tg(x/3) = t. Тогда уравнение принимает вид:

   • 3t^2 - 2t - 1 = 0

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   • D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16

6. Теперь находим корни уравнения:

   • t1 = (2 + √16) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1
   • t2 = (2 - √16) / (2 * 3) = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

7. Теперь вернемся к переменной tg(x/3):

   • tg(x/3) = 1 и tg(x/3) = -1/3

8. Решим каждое из уравнений:

   • tg(x/3) = 1
   • x/3 = π/4 + kπ, где k - целое число
   • x = 3(π/4 + kπ) = 3π/4 + 3kπ

9. Теперь решим второе уравнение:

   • tg(x/3) = -1/3
   • x/3 = arctg(-1/3) + kπ, где k - целое число
   • x = 3(arctg(-1/3) + kπ)

Таким образом, у нас есть два семейства решений:

• x = 3π/4 + 3kπ
• x = 3(arctg(-1/3) + kπ)

Где k - любое целое число. Это и есть общее решение данного уравнения.