Как решить уравнение: 3^x = 216 * 2^(x^2 - 4x)?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения 3^x = 216 * 2^(x^2 - 4x) математика 11 класс алгебра уравнения exponentiation математические методы Новый

Чтобы решить уравнение 3^x = 216 * 2^(x^2 - 4x), начнем с того, что упростим правую часть уравнения.

Первым шагом будет разложение числа 216 на простые множители. Мы знаем, что:

• 216 = 2^3 * 3^3

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

3^x = (2^3 * 3^3) * 2^(x^2 - 4x)

Мы можем объединить степени 2 на правой стороне:

3^x = 2^(3 + x^2 - 4x) * 3^3

Теперь упростим правую часть:

3^x = 3^3 * 2^(x^2 - 4x + 3)

Теперь мы можем выразить обе стороны уравнения в виде произведения степеней:

3^x = 3^3 * 2^(x^2 - 4x + 3)

Теперь, чтобы упростить уравнение, мы можем разделить обе стороны на 3^3:

3^(x - 3) = 2^(x^2 - 4x + 3)

Теперь у нас есть равенство, где обе стороны выражены через степени. Это уравнение можно решить, приравняв показательные функции, но для этого нам нужно учитывать, что 3 и 2 — это разные основания. Поэтому мы можем использовать логарифмы.

Применим логарифм к обеим сторонам:

log(3^(x - 3)) = log(2^(x^2 - 4x + 3))

Используя свойства логарифмов, мы можем вынести показатели за знак логарифма:

(x - 3) * log(3) = (x^2 - 4x + 3) * log(2)

Теперь мы можем выразить это уравнение в более удобной форме:

(x - 3) * log(3) = x^2 * log(2) - 4x * log(2) + 3 * log(2)

Переносим все в одну сторону:

x^2 * log(2) - (4 * log(2) + log(3)) * x + (3 * log(2) + 3 * log(3)) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме Ax^2 + Bx + C = 0, где:

• A = log(2)
• B = -(4 * log(2) + log(3))
• C = (3 * log(2) + 3 * log(3))

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = B^2 - 4AC

После нахождения дискриминанта, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-B ± √D) / 2A

Таким образом, вы получите два возможных значения для x, которые можно подставить обратно в изначальное уравнение, чтобы проверить их корректность.

Не забудьте проверить, удовлетворяют ли найденные значения исходному уравнению 3^x = 216 * 2^(x^2 - 4x).