Как решить уравнение (4 + √15)^(2sinx) + (4 - √15)^(2sinx) = 62? Подскажите ход или само решение, пожалуйста.

Математика 11 класс Уравнения с показательной функцией уравнение решение уравнения математика 11 класс Тригонометрия синус квадратный корень алгебра математические задачи методы решения примеры уравнений Новый

Для решения уравнения (4 + √15)^(2sinx) + (4 - √15)^(2sinx) = 62, начнем с упрощения выражения. Обозначим:

• a = 4 + √15
• b = 4 - √15

Тогда уравнение можно переписать в виде:

a^(2sinx) + b^(2sinx) = 62

Теперь заметим, что a и b - это два числа, которые связаны между собой:

• a * b = (4 + √15)(4 - √15) = 16 - 15 = 1
• Следовательно, b = 1/a

Теперь подставим b в уравнение:

a^(2sinx) + (1/a)^(2sinx) = 62

Это можно записать как:

a^(2sinx) + a^(-2sinx) = 62

Обозначим y = a^(2sinx). Тогда уравнение становится:

y + 1/y = 62

Умножим обе стороны на y (при условии, что y не равно 0):

y^2 + 1 = 62y

Перепишем уравнение в стандартной форме:

y^2 - 62y + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-62)^2 - 4*1*1 = 3844 - 4 = 3840

Теперь найдем корни уравнения:

y = (62 ± √3840) / 2

Вычислим √3840:

√3840 = √(64 * 60) = 8√60

Подставим это значение обратно:

y = (62 ± 8√60) / 2

Теперь у нас есть два значения для y:

y1 = (62 + 8√60) / 2

y2 = (62 - 8√60) / 2

Теперь, так как y = a^(2sinx), мы можем найти 2sinx:

2sinx = log_a(y)

Где log_a(y) - это логарифм y по основанию a. Теперь, подставив значения y1 и y2, мы можем найти значения sinx. Не забудьте, что sinx должен находиться в пределах от -1 до 1.

После нахождения значений 2sinx, мы можем найти x, используя арксинус:

x = arcsin(sinx)

На этом шаге мы получим все возможные значения x, учитывая периодичность функции синуса.

Таким образом, мы пришли к решению уравнения. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!