Как решить уравнение 5^2x - 5^x - 600 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с показательной функцией уравнение 5^2x 5^x решить уравнение математика 11 класс алгебра экспоненциальное уравнение математические задачи Новый

Для решения уравнения 5^(2x) - 5^x - 600 = 0 мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте обозначим:

• y = 5^x

Тогда 5^(2x) можно записать как (5^x)^2, то есть y^2. Таким образом, уравнение преобразуется в:

• y^2 - y - 600 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы решить его, воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -1
• c = -600

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

• D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-600) = 1 + 2400 = 2401

Теперь найдем корни уравнения:

• y1,2 = (1 ± √2401) / 2 = (1 ± 49) / 2

Теперь вычислим два корня:

• y1 = (1 + 49) / 2 = 50 / 2 = 25
• y2 = (1 - 49) / 2 = -48 / 2 = -24

Поскольку y = 5^x, мы можем отбрасывать отрицательные значения, так как 5^x всегда положительно. Таким образом, остаётся только:

• y = 25

Теперь вернемся к замене переменной:

• 5^x = 25

Мы знаем, что 25 можно представить как 5^2. Таким образом:

• 5^x = 5^2

Поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели:

• x = 2

Таким образом, единственным решением уравнения 5^(2x) - 5^x - 600 = 0 является:

• x = 2