Как решить уравнение: cos(2x) = (2sin(x) - 1)/2? Какие значения x будут для 11 класса?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения cos(2X) 2sin(x) - 1 значения x 11 класс математика тригонометрические уравнения методы решения Новый

Чтобы решить уравнение cos(2x) = (2sin(x) - 1)/2, начнем с того, что у нас есть тригонометрические функции, и мы можем использовать известные тригонометрические тождества.

Первым шагом будет преобразование левой части уравнения. Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью тождества:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Теперь подставим это в уравнение:

1 - 2sin²(x) = (2sin(x) - 1)/2

Далее, умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

2(1 - 2sin²(x)) = 2sin(x) - 1

Это упростится до:

2 - 4sin²(x) = 2sin(x) - 1

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

4sin²(x) + 2sin(x) - 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x), тогда уравнение принимает вид:

4y² + 2y - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4 * 4 * (-3) = 4 + 48 = 52

Теперь найдем корни уравнения:

y = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

y = (-2 ± √52) / (2 * 4)

Упростим это:

y = (-2 ± 2√13) / 8 = (-1 ± √13) / 4

Теперь найдем два значения для y:

• y₁ = (-1 + √13) / 4
• y₂ = (-1 - √13) / 4

Теперь нужно определить, какие из этих значений находятся в пределах допустимых значений для sin(x), т.е. от -1 до 1.

Для y₁ = (-1 + √13) / 4:

√13 примерно равно 3.605, тогда:

y₁ ≈ (-1 + 3.605) / 4 ≈ 2.605 / 4 ≈ 0.6513

Это значение допустимо, так как оно находится в пределах от -1 до 1.

Для y₂ = (-1 - √13) / 4:

y₂ ≈ (-1 - 3.605) / 4 ≈ -4.605 / 4 ≈ -1.15125

Это значение не допустимо, так как оно меньше -1.

Таким образом, мы имеем только одно допустимое значение y = sin(x) = (-1 + √13) / 4.

Теперь найдем значения x:

x = arcsin(y)

Поскольку синус имеет период 2π, все решения будут:

• x = arcsin((-1 + √13) / 4) + 2kπ, где k – любое целое число.
• x = π - arcsin((-1 + √13) / 4) + 2kπ, где k – любое целое число.

Это и есть все решения уравнения cos(2x) = (2sin(x) - 1)/2.