Чтобы решить уравнение |x-1| + |1+2x| = 2|x|, нам нужно рассмотреть различные случаи, основанные на значениях выражений под модулем. Модули меняют свое значение в зависимости от того, положительны или отрицательны их аргументы.

Рассмотрим точки, где выражения под модулем равны нулю:

• |x - 1| = 0, когда x = 1;
• |1 + 2x| = 0, когда 1 + 2x = 0, то есть x = -0.5;
• |x| = 0, когда x = 0.

Таким образом, у нас есть три ключевые точки: x = -0.5, x = 0 и x = 1. Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала:

• 1. x < -0.5
• 2. -0.5 ≤ x < 0
• 3. 0 ≤ x < 1
• 4. x ≥ 1

Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов по отдельности.

1. Интервал 1: x < -0.5

В этом интервале все выражения под модулем будут отрицательными:

• |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1;
• |1 + 2x| = -(1 + 2x) = -1 - 2x;
• |x| = -x.

Подставляем в уравнение:

-x + 1 - 1 - 2x = -2x

Упрощаем:

-3x = -2x

Это дает:

-x = 0, что невозможно для x < -0.5. Таким образом, решений в этом интервале нет.
2. Интервал 2: -0.5 ≤ x < 0

Здесь |x - 1| = -x + 1, |1 + 2x| = 1 + 2x, |x| = -x:

-x + 1 + 1 + 2x = -2x

Упрощаем:

x + 2 = -2x

Это дает:

3x = -2 или x = -2/3, что находится в интервале. Значит, это решение.
3. Интервал 3: 0 ≤ x < 1

Здесь |x - 1| = -x + 1, |1 + 2x| = 1 + 2x, |x| = x:

-x + 1 + 1 + 2x = 2x

Упрощаем:

x + 2 = 2x

Это дает:

x = 2, что не попадает в интервал. Таким образом, решений здесь нет.
4. Интервал 4: x ≥ 1

В этом интервале все выражения положительные:

• |x - 1| = x - 1;
• |1 + 2x| = 1 + 2x;
• |x| = x.

Подставляем в уравнение:

x - 1 + 1 + 2x = 2x

Упрощаем:

3x = 2x

Это дает:

x = 0, что не попадает в интервал. Таким образом, решений здесь нет.

Теперь подведем итоги:

• Решение в интервале 2: x = -2/3.
• В остальных интервалах решений нет.

Ответ: x = -2/3.