Для решения уравнения 2|x+5|-|x-7|=10 необходимо учитывать свойства модульной функции. Модуль числа определяет его абсолютное значение, то есть, если выражение внутри модуля положительное, то модуль равен этому выражению, а если отрицательное — модуль равен отрицательному значению этого выражения.

Рассмотрим два выражения внутри модулей: |x+5| и |x-7|. Для их анализа определим критические точки, при которых выражения меняют знак:

• Для |x+5| критическая точка: x = -5.
• Для |x-7| критическая точка: x = 7.

Таким образом, мы получаем три интервала для решения уравнения:

1. x < -5
2. -5 ≤ x < 7
3. x ≥ 7

Теперь решим уравнение в каждом из этих интервалов.

1. Интервал: x < -5

В этом интервале |x+5| = -(x+5) и |x-7| = -(x-7). Подставим эти выражения в уравнение:

2(-x-5) - (-(x-7)) = 10

Упростим:

-2x - 10 + x - 7 = 10

-x - 17 = 10

-x = 27

x = -27

Проверим, попадает ли -27 в интервал x < -5. Да, это решение допустимо.

2. Интервал: -5 ≤ x < 7

В этом интервале |x+5| = x+5 и |x-7| = -(x-7). Подставим:

2(x+5) - (-(x-7)) = 10

Упростим:

2x + 10 + x - 7 = 10

3x + 3 = 10

3x = 7

x = 7/3

Проверим, попадает ли 7/3 в интервал -5 ≤ x < 7. Да, это решение допустимо.

3. Интервал: x ≥ 7

В этом интервале |x+5| = x+5 и |x-7| = x-7. Подставим:

2(x+5) - (x-7) = 10

Упростим:

2x + 10 - x + 7 = 10

x + 17 = 10

x = -7

Проверим, попадает ли -7 в интервал x ≥ 7. Нет, это решение не допустимо.

Таким образом, мы нашли два допустимых решения:

• x = -27
• x = 7/3

Ответ: x = -27 и x = 7/3.