Как решить уравнение (sin x - cos x)^2 = 1 + sin x?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения математика 11 класс тригонометрические уравнения (sin x - cos x)^2 уравнение с синусом и косинусом Новый

Чтобы решить уравнение (sin x - cos x)^2 = 1 + sin x, давайте начнем с раскрытия левой части уравнения.

1. Раскроем квадрат:
• (sin x - cos x)^2 = sin^2 x - 2sin x * cos x + cos^2 x.
• Так как sin^2 x + cos^2 x = 1, мы можем заменить sin^2 x + cos^2 x на 1:
• Следовательно, у нас получится: 1 - 2sin x * cos x.

Теперь подставим это в исходное уравнение:

1 - 2sin x * cos x = 1 + sin x.

Теперь упростим уравнение, вычтя 1 из обеих сторон:

-2sin x * cos x = sin x.

Теперь перенесем все в одну сторону:

-2sin x * cos x - sin x = 0.

Вынесем sin x за скобки:

sin x (-2cos x - 1) = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение, приравняв каждую из частей к нулю:

1. Первая часть: sin x = 0.
• Решения: x = n * pi, где n - целое число.
2. Вторая часть: -2cos x - 1 = 0.
• Решим это уравнение:
• -2cos x = 1
• cos x = -1/2.
• Решения: x = 2n * pi + 2pi/3 и x = 2n * pi + 4pi/3, где n - целое число.

Таким образом, окончательные решения уравнения (sin x - cos x)^2 = 1 + sin x будут:

• x = n * pi, где n - целое число;
• x = 2n * pi + 2pi/3, где n - целое число;
• x = 2n * pi + 4pi/3, где n - целое число.