Как составить уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот, если известно, что расстояние между фокусами 12, а эксцентриситет 2?

Пожалуйста🥺

Математика 11 класс Геометрия гипербола уравнение гиперболы асимптоты фокусы эксцентриситет расстояние между фокусами математика задачи по математике Новый

Чтобы составить уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот, нам нужно использовать данные, которые нам даны: расстояние между фокусами и эксцентриситет. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров гиперболы

• Расстояние между фокусами обозначается как 2c. В нашем случае оно равно 12, значит:
• c = 12 / 2 = 6.
• Эксцентриситет обозначается как e. В нашем случае он равен 2.

Шаг 2: Связь между эксцентриситетом, фокусным расстоянием и полуосью

Существует связь между эксцентриситетом, фокусным расстоянием и полуосью гиперболы:

e = c / a, где a — это полуось гиперболы.

Подставим известные значения:

• 2 = 6 / a.

Теперь найдем a:

• a = 6 / 2 = 3.

Шаг 3: Найдем значение b

Существует также связь между c, a и b:

c^2 = a^2 + b^2.

Теперь подставим известные значения:

• 6^2 = 3^2 + b^2,
• 36 = 9 + b^2,
• b^2 = 36 - 9 = 27.

Таким образом, b = √27 = 3√3.

Шаг 4: Составление уравнения гиперболы

Уравнение гиперболы, имеющей фокусы по оси абсцисс, имеет вид:

(y^2 / a^2) - (x^2 / b^2) = 1.

Подставим найденные значения a и b:

• a^2 = 3^2 = 9,
• b^2 = (3√3)^2 = 27.

Таким образом, уравнение гиперболы будет выглядеть так:

(y^2 / 9) - (x^2 / 27) = 1.

Шаг 5: Уравнения асимпот гиперболы

Асимптоты гиперболы, имеющей фокусы по оси абсцисс, имеют вид:

y = ±(b/a)x.

Подставим найденные значения a и b:

• y = ±(3√3 / 3)x = ±√3x.

Таким образом, уравнения асимптот гиперболы будут:

• y = √3x,
• y = -√3x.

В итоге, мы получили уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот:

• Уравнение гиперболы: (y^2 / 9) - (x^2 / 27) = 1.
• Уравнения асимптот: y = √3x и y = -√3x.