Как составить уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору AB, если A(2;3;-4) и B(-1;2;2)?

Математика 11 класс Уравнения плоскостей в пространстве уравнение плоскости точка A вектор AB перпендикулярность координаты точки математические задачи Новый

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору AB, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти координаты вектора AB.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

• AB = B - A = (-1; 2; 2) - (2; 3; -4) = (-1 - 2; 2 - 3; 2 - (-4)) = (-3; -1; 6).
2. Записать уравнение плоскости в векторной форме.

Уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору n (в нашем случае это вектор AB), имеет вид:

(x - x0) * n1 + (y - y0) * n2 + (z - z0) * n3 = 0,

где (x0, y0, z0) - координаты точки A, а (n1, n2, n3) - координаты нормального вектора (вектора AB).

3. Подставить известные значения в уравнение.

Координаты точки A(2; 3; -4) и вектора AB(-3; -1; 6) подставим в уравнение:

(x - 2) * (-3) + (y - 3) * (-1) + (z - (-4)) * 6 = 0.

4. Упростить уравнение.

Раскроем скобки:

• -3(x - 2) - (y - 3) + 6(z + 4) = 0.

Это можно упростить до:

• -3x + 6 - y + 3 + 6z + 24 = 0.
• -3x - y + 6z + 33 = 0.
5. Записать окончательное уравнение плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору AB, будет:

-3x - y + 6z + 33 = 0.

Это уравнение можно также записать в более привычной форме, например, 3x + y - 6z = 33, если вам это необходимо.