Как составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору АВ, если А(2;3;-4) и В(-1;2;2)?

Математика 11 класс Уравнения плоскостей в пространстве уравнение плоскости точка А вектор АВ перпендикулярность математика координаты составление уравнения Новый

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору AB, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти вектор AB.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B. Формула для нахождения вектора AB выглядит следующим образом:

AB = B - A = (Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az)

Подставим координаты точек A и B:

AB = (-1 - 2; 2 - 3; 2 - (-4)) = (-3; -1; 6)

Таким образом, вектор AB равен (-3; -1; 6).

Шаг 2: Записать уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в пространстве можно записать в виде:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

где (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит плоскость, а (A, B, C) - координаты нормального вектора к плоскости.

В нашем случае нормальный вектор к плоскости совпадает с вектором AB, то есть (A, B, C) = (-3, -1, 6), а точка A имеет координаты (2, 3, -4).

Подставим все известные значения в уравнение:

-3(x - 2) - 1(y - 3) + 6(z + 4) = 0

Шаг 3: Упростить уравнение.

Теперь упростим уравнение:

1. Раскроем скобки:

-3x + 6 - y + 3 + 6z + 24 = 0

2. Соберем все термины:

-3x - y + 6z + 33 = 0

Шаг 4: Привести уравнение к стандартному виду.

Мы можем записать уравнение плоскости в стандартном виде:

3x + y - 6z = 33

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору AB, имеет вид:

3x + y - 6z = 33