Как упростить выражение: (√2 - sinα - cosα) ÷ (sinα - cosα)?

Математика 11 класс Упрощение алгебраических выражений Упрощение выражения математика 11 класс корень из 2 синус косинус дробь Тригонометрия Новый

Чтобы упростить выражение (√2 - sinα - cosα) ÷ (sinα - cosα), давайте рассмотрим его шаг за шагом.

1. Запишем выражение:

   (√2 - sinα - cosα) ÷ (sinα - cosα)

2. Изучим числитель:

   Числитель у нас имеет вид √2 - sinα - cosα. Мы можем попробовать сгруппировать члены.

3. Попробуем выразить числитель через (sinα - cosα):

   Мы знаем, что sinα - cosα можно выразить как (sinα - cosα) = -(cosα - sinα). Попробуем использовать это в числителе.

4. Преобразуем числитель:

   Мы можем добавить и вычесть √2 в числителе, чтобы упростить его:

   √2 - sinα - cosα = √2 - (sinα + cosα)

5. Используем тригонометрическую идентичность:

   Согласно тригонометрическим свойствам, sinα + cosα можно выразить через √2:

   sinα + cosα = √2 * sin(α + π/4)

   Тем не менее, это не всегда упростит числитель, поэтому мы можем оставить его в исходном виде.

6. Смотрим на знаменатель:

   Знаменатель у нас (sinα - cosα). Мы можем также выразить его через √2, но для упрощения лучше оставить его в исходном виде.

7. Проверяем возможность сокращения:

   Если мы попытаемся упростить (√2 - sinα - cosα) ÷ (sinα - cosα), то заметим, что у нас нет общих множителей, которые можно было бы сократить.

8. Вывод:

   Таким образом, окончательное упрощенное выражение остается в виде:

   (√2 - sinα - cosα) ÷ (sinα - cosα)

   Мы не смогли упростить его дальше, так как не нашли общих факторов.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс упрощения данного выражения!