Как упростить выражение 6 - 8cos(4x) + 2cos(8x) так, чтобы получить 256*sin^4(x)*cos^4(x)? Пожалуйста, предоставьте полное и подробное решение.

Математика 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения математика 11 класс тригонометрические функции решение уравнений синус и косинус алгебраические преобразования Новый

Чтобы упростить выражение 6 - 8cos(4x) + 2cos(8x) и получить 256*sin^4(x)*cos^4(x), давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Применение тригонометрических идентичностей

• Начнем с того, что мы знаем, что cos(8x) можно выразить через cos(4x) с помощью формулы двойного угла:
• cos(8x) = 2cos^2(4x) - 1.

Подставим это в наше выражение:

6 - 8cos(4x) + 2(2cos^2(4x) - 1).

Раскроем скобки:

6 - 8cos(4x) + 4cos^2(4x) - 2.

Упрощаем:

4 + 4cos^2(4x) - 8cos(4x).

Теперь можно выделить общий множитель 4:

4(1 + cos^2(4x) - 2cos(4x)).

Шаг 2: Упрощение квадратичной формы

Теперь у нас есть выражение в скобках:

1 + cos^2(4x) - 2cos(4x).

Это можно представить в виде квадратичной функции:

(cos(4x) - 1)^2.

Подставляем это обратно в выражение:

4((cos(4x) - 1)^2).

Шаг 3: Подстановка cos(4x) через sin и cos

Теперь мы знаем, что:

cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 = 2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1.

Это выражение можно упростить, но давайте вместо этого воспользуемся другой тригонометрической идентичностью:

cos(4x) = 1 - 8sin^2(x)cos^2(x).

Подставим это обратно в (cos(4x) - 1)^2:

(-8sin^2(x)cos^2(x))^2 = 64sin^4(x)cos^4(x).

Таким образом, у нас получается:

4 * 64sin^4(x)cos^4(x) = 256sin^4(x)cos^4(x).

Шаг 4: Заключение

Мы упростили выражение 6 - 8cos(4x) + 2cos(8x) до 256sin^4(x)cos^4(x), как и требовалось. Таким образом, окончательный ответ:

6 - 8cos(4x) + 2cos(8x) = 256sin^4(x)cos^4(x).