Как упростить выражение (sin alpha)/(1 + cos alpha) + (1 + cos alpha)/(sin alpha)?

Математика 11 класс Упрощение тригонометрических выражений упростить выражение математика 11 класс Тригонометрия sin alpha cos alpha математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (sin alpha)/(1 + cos alpha) + (1 + cos alpha)/(sin alpha), давайте рассмотрим его шаг за шагом.

1. Запишем выражение:

   (sin alpha)/(1 + cos alpha) + (1 + cos alpha)/(sin alpha)

2. Найдем общий знаменатель:

   Общий знаменатель для двух дробей будет (1 + cos alpha) * (sin alpha).

3. Перепишем дроби с общим знаменателем:
   • (sin alpha)/(1 + cos alpha) = (sin alpha * sin alpha) / ((1 + cos alpha) * sin alpha) = sin^2 alpha / ((1 + cos alpha) * sin alpha)
   • (1 + cos alpha)/(sin alpha) = ((1 + cos alpha) * (1 + cos alpha)) / (sin alpha * (1 + cos alpha)) = (1 + cos alpha)^2 / (sin alpha * (1 + cos alpha))

   Теперь можем записать общее выражение:

   (sin^2 alpha + (1 + cos alpha)^2) / ((1 + cos alpha) * sin alpha)

4. Упростим числитель:

   Раскроем скобки в числителе:

   sin^2 alpha + (1 + 2cos alpha + cos^2 alpha) = sin^2 alpha + 1 + 2cos alpha + cos^2 alpha

   Теперь применим основное тригонометрическое тождество: sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1.

   Таким образом, мы получаем:

   1 + 1 + 2cos alpha = 2 + 2cos alpha = 2(1 + cos alpha).

5. Подставим обратно в выражение:

   Теперь у нас есть:

   (2(1 + cos alpha)) / ((1 + cos alpha) * sin alpha)

6. Сократим на (1 + cos alpha):

   При условии, что (1 + cos alpha) не равно 0, мы можем сократить:

   2 / sin alpha.

Итак, окончательный ответ:

Упрощенное выражение равно 2 / sin alpha.