Как вычислить определенный интеграл: ∫(от 1 до 3) x² * √(9 - x²) dx?

Математика 11 класс Определённые интегралы определенный интеграл вычисление интеграла интеграл x² интеграл √(9 - x²) математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫(от 1 до 3) x² * √(9 - x²) dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения этого интеграла.

1. Подстановка: Поскольку подкоренное выражение имеет вид (9 - x²), мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Пусть x = 3sin(θ). Тогда dx = 3cos(θ)dθ.
2. Изменение пределов интегрирования: При x = 1, sin(θ) = 1/3, следовательно, θ = arcsin(1/3). При x = 3, sin(θ) = 1, следовательно, θ = π/2.
3. Замена в интеграле: Теперь подставим x и dx в интеграл. У нас получается:
• √(9 - x²) = √(9 - (3sin(θ))²) = √(9(1 - sin²(θ))) = √(9cos²(θ)) = 3cos(θ).
• x² = (3sin(θ))² = 9sin²(θ).
4. Интеграл после подстановки: Теперь подставим все в интеграл:

   ∫(от arcsin(1/3) до π/2) (9sin²(θ))(3cos(θ))(3cos(θ)dθ) = 81∫(от arcsin(1/3) до π/2) sin²(θ)cos²(θ)dθ.

5. Используем формулу для sin²(θ)cos²(θ): Мы можем использовать формулу sin²(θ)cos²(θ) = (1/4)sin²(2θ). Тогда интеграл становится:

   81 * (1/4) ∫(от arcsin(1/3) до π/2) sin²(2θ)dθ.

6. Интегрирование sin²(2θ): Используем формулу для интеграла sin²(u): ∫sin²(u)du = (u/2) - (sin(2u)/4) + C. Подставляем u = 2θ, du = 2dθ, тогда dθ = du/2.

   Таким образом, интеграл равен:

   (81/8)∫sin²(2θ)dθ = (81/8) * [θ/2 - (sin(4θ)/8)] (от arcsin(1/3) до π/2).

7. Подставляем пределы: Вычисляем значение интеграла на верхнем и нижнем пределе:

   Подставляем θ = π/2 и θ = arcsin(1/3) в полученную формулу.

8. Вычисляем окончательный результат: После подстановки и вычисления, мы получаем значение определенного интеграла.

Таким образом, мы можем найти значение определенного интеграла ∫(от 1 до 3) x² * √(9 - x²) dx, следуя вышеописанным шагам. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!