Помогите, пожалуйста, решить определенный интеграл от 0 до 2 для функции x(3-x)dx.

Математика 11 класс Определённые интегралы определенный интеграл интеграл от 0 до 2 функция x(3-x) решение интеграла математика 11 класс Новый

Давайте решим определенный интеграл от 0 до 2 для функции f(x) = x(3 - x) dx. Мы будем следовать нескольким шагам для нахождения решения.

Шаг 1: Упростим функцию

Сначала упростим выражение x(3 - x):

• f(x) = x(3 - x) = 3x - x^2.

Шаг 2: Найдем неопределенный интеграл

Теперь найдем неопределенный интеграл от функции f(x):

• ∫(3x - x^2) dx = ∫3x dx - ∫x^2 dx.
• Интегрируя каждое из слагаемых, получаем:
• ∫3x dx = (3/2)x^2 + C,
• ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C.

Таким образом, неопределенный интеграл будет:

• ∫(3x - x^2) dx = (3/2)x^2 - (1/3)x^3 + C.

Шаг 3: Найдем определенный интеграл от 0 до 2

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от 0 до 2, подставляя пределы в найденный неопределенный интеграл:

• ∫ от 0 до 2 (3x - x^2) dx = [(3/2)(2^2) - (1/3)(2^3)] - [(3/2)(0^2) - (1/3)(0^3)].
• Подставляем значения:
• =(3/2)(4) - (1/3)(8) - (0) = 6 - (8/3).
• Теперь приведем 6 к общему знаменателю:
• 6 = (18/3), тогда:
• (18/3) - (8/3) = (10/3).

Ответ:

Таким образом, определенный интеграл от 0 до 2 для функции x(3 - x) dx равен 10/3.