Помогите вычислить определённый интеграл методом замены переменной:

∫ (4x / √(1 + 2x²)) dx

Математика 11 класс Определённые интегралы определенный интеграл метод замены переменной вычисление интеграла математика 11 класс интеграл 4x интеграл √(1 + 2x²) Новый

Чтобы вычислить определённый интеграл ∫ (4x / √(1 + 2x²)) dx методом замены переменной, следуем следующим шагам:

1. Выбор замены переменной: Мы видим, что в подкоренной части интеграла присутствует выражение 1 + 2x². Это подсказывает нам, что будет удобно использовать замену переменной, которая упростит это выражение. Давайте сделаем замену:
• Пусть: u = 1 + 2x².
2. Найдём производную: Теперь найдем производную u по x, чтобы выразить dx через du:
• du/dx = 4x,
• du = 4x dx,
• dx = du / (4x).
3. Подставим в интеграл: Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
• ∫ (4x / √(1 + 2x²)) dx = ∫ (4x / √u) * (du / (4x)).
• При сокращении 4x мы получаем:
• ∫ (1 / √u) du.
4. Решение нового интеграла: Интеграл ∫ (1 / √u) du можно вычислить:
• ∫ (1 / √u) du = 2√u + C, где C - произвольная константа.
5. Возвращаемся к переменной x: Теперь подставим обратно выражение для u:
• u = 1 + 2x²,
• Таким образом, 2√u = 2√(1 + 2x²).
6. Итоговый ответ: Теперь мы можем записать окончательный ответ для интеграла:
• ∫ (4x / √(1 + 2x²)) dx = 2√(1 + 2x²) + C.

Таким образом, мы успешно вычислили определённый интеграл методом замены переменной. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!