Как вычислить производные следующих функций?

1. а) y = -0,5х^4 + 1/3х^3 - 2х
2. б) y = x^2tgx
3. в) y = (4√x + 3)(1 - 1/x)

Математика 11 класс Производные функций вычислить производные производные функций математика 11 класс производная y функции математики Новый

Давайте разберем, как вычислить производные каждой из предложенных функций. Я объясню процесс пошагово.

а) y = -0,5x^4 + 1/3x^3 - 2x

Для нахождения производной функции, мы будем использовать правило дифференцирования степенных функций. Правило гласит, что производная функции вида ax^n равна n * ax^(n-1).

1. Для первого члена -0,5x^4:
   • n = 4, a = -0,5
   • Производная: 4 * (-0,5) * x^(4-1) = -2x^3
2. Для второго члена 1/3x^3:
   • n = 3, a = 1/3
   • Производная: 3 * (1/3) * x^(3-1) = x^2
3. Для третьего члена -2x:
   • n = 1, a = -2
   • Производная: 1 * (-2) * x^(1-1) = -2

Теперь соберем все производные вместе:

y' = -2x^3 + x^2 - 2

б) y = x^2 * tg(x)

Здесь мы будем использовать правило произведения, которое гласит, что если y = u * v, то y' = u'v + uv'.

1. Пусть u = x^2, тогда u' = 2x.
2. Пусть v = tg(x), тогда v' = sec^2(x).
3. Теперь применим правило произведения:
• y' = u'v + uv' = (2x)(tg(x)) + (x^2)(sec^2(x))

Таким образом, производная будет:

y' = 2x * tg(x) + x^2 * sec^2(x)

в) y = (4√x + 3)(1 - 1/x)

В этом случае также используем правило произведения. Обозначим:

1. u = 4√x + 3, тогда u' = 4 * (1/2)x^(-1/2) = 2/x^(1/2).
2. v = 1 - 1/x, тогда v' = 0 + 1/x^2 = 1/x^2.

Теперь применим правило произведения:

• y' = u'v + uv' = (2/x^(1/2))(1 - 1/x) + (4√x + 3)(1/x^2).

Упрощаем:

• y' = (2/x^(1/2))(1 - 1/x) + (4√x + 3)(1/x^2).

Таким образом, окончательная производная будет:

y' = (2/x^(1/2))(1 - 1/x) + (4√x + 3)(1/x^2)

Надеюсь, эти шаги помогли вам понять, как находить производные различных функций! Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать.