Какие характеристики имеет функция -x³+3x-2, включая:

1. область определения;
2. вид функции;
3. интервалы знаков постоянства;
4. поведение на границе области определения;
5. точки экстремума;
6. промежутки выпуклости?

Математика 11 класс Анализ функций характеристики функции область определения вид функции интервалы знаков поведение на границе точки экстремума промежутки выпуклости Новый

Давайте подробно разберем функцию f(x) = -x³ + 3x - 2 и определим ее характеристики.

1. Область определения:

Функция f(x) = -x³ + 3x - 2 является многочленом третьей степени. Многочлены определены для всех действительных чисел, поэтому область определения данной функции:

Область определения: R (все действительные числа).

2. Вид функции:

Функция является кубической, так как содержит член с x в третьей степени. Она будет иметь форму, характерную для кубических функций, с возможными точками перегиба и экстремумами.

3. Интервалы знаков постоянства:

Для нахождения интервалов знаков постоянства необходимо найти производную функции:

• f'(x) = -3x² + 3.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

• -3x² + 3 = 0
• 3x² = 3
• x² = 1
• x = ±1.

Теперь исследуем знаки производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞):

• На интервале (-∞, -1): f'(-2) = -3(-2)² + 3 = -12 + 3 < 0 (функция убывает).
• На интервале (-1, 1): f'(0) = -3(0)² + 3 = 3 > 0 (функция возрастает).
• На интервале (1, +∞): f'(2) = -3(2)² + 3 = -12 + 3 < 0 (функция убывает).

Интервалы знаков постоянства:

• Функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).
• Функция возрастает на интервале (-1, 1).

4. Поведение на границе области определения:

Так как область определения функции - все действительные числа, мы рассмотрим пределы функции при x стремящемся к ±∞:

• lim (x→-∞) f(x) = -∞ (функция стремится к -∞ при x → -∞).
• lim (x→+∞) f(x) = -∞ (функция также стремится к -∞ при x → +∞).

Поведение на границе области определения: функция уходит в -∞ при x стремящемся к ±∞.

5. Точки экстремума:

Критические точки, найденные ранее, x = -1 и x = 1, являются кандидатами на экстремумы. Чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами, можно использовать второй производный тест:

• f''(x) = -6x.
• f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0 (точка x = -1 - минимум).
• f''(1) = -6(1) = -6 < 0 (точка x = 1 - максимум).

Точки экстремума:

• Минимум в точке x = -1.
• Максимум в точке x = 1.

6. Промежутки выпуклости:

Для нахождения промежутков выпуклости необходимо исследовать знак второй производной:

• f''(x) = -6x.

Приравняем вторую производную к нулю:

• -6x = 0
• x = 0.

Теперь исследуем знак второй производной на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞):

• На интервале (-∞, 0): f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0 (функция выпуклая вверх).
• На интервале (0, +∞): f''(1) = -6(1) = -6 < 0 (функция выпуклая вниз).

Промежутки выпуклости:

• Выпуклая вверх на интервале (-∞, 0).
• Выпуклая вниз на интервале (0, +∞).

Таким образом, мы рассмотрели основные характеристики функции f(x) = -x³ + 3x - 2, включая область определения, вид функции, интервалы знаков постоянства, поведение на границе области определения, точки экстремума и промежутки выпуклости.