Чтобы определить интервалы монотонности и экстремумы функции y = (2/3) * x^3 - 17x^2 + 60x - 4, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

Производная функции y обозначается как y'. Она показывает, как изменяется функция y при изменении x. Для нашей функции y = (2/3) * x^3 - 17x^2 + 60x - 4, производная будет:

• y' = (2/3) * 3x^2 - 17 * 2x + 60 = 2x^2 - 34x + 60.
2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение:

• 2x^2 - 34x + 60 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 * 2 * 60 = 1156 - 480 = 676.
• Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a):
• x1 = (34 + √676) / 4 = (34 + 26) / 4 = 15,
• x2 = (34 - √676) / 4 = (34 - 26) / 4 = 2.
3. Определить знаки производной на интервалах.

Теперь мы имеем критические точки x = 2 и x = 15. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 2),
• (2, 15),
• (15, +∞).

Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов, подставив тестовые точки:

• Для интервала (-∞, 2),возьмем x = 0: y'(0) = 2(0)^2 - 34(0) + 60 = 60 (положительно).
• Для интервала (2, 15),возьмем x = 10: y'(10) = 2(10)^2 - 34(10) + 60 = 200 - 340 + 60 = -80 (отрицательно).
• Для интервала (15, +∞),возьмем x = 20: y'(20) = 2(20)^2 - 34(20) + 60 = 800 - 680 + 60 = 180 (положительно).
4. Сделать выводы о монотонности и экстремумах.

Из анализа знаков производной мы можем сделать следующие выводы:

• На интервале (-∞, 2) функция возрастает (производная положительна).
• На интервале (2, 15) функция убывает (производная отрицательна).
• На интервале (15, +∞) функция снова возрастает (производная положительна).

Таким образом, мы имеем:

• Точка x = 2 является максимумом (функция меняет знак производной с положительного на отрицательный).
• Точка x = 15 является минимумом (функция меняет знак производной с отрицательного на положительный).

Теперь вы можете использовать эту информацию для нахождения значений функции в точках экстремумов, подставив x = 2 и x = 15 в исходную функцию y.