Каким образом можно определить интервалы монотонности и экстремумы функции y = (2/3) * x^3 - 17x^2 + 60x - 4?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы монотонности экстремумы функции производная функции анализ функции математический анализ график функции свойства функции нахождение экстремумов критические точки функция третьей степени Новый

Чтобы определить интервалы монотонности и экстремумы функции y = (2/3) * x^3 - 17x^2 + 60x - 4, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

Производная функции y обозначается как y'. Она показывает, как изменяется функция y при изменении x. Для нашей функции y = (2/3) * x^3 - 17x^2 + 60x - 4, производная будет:

• y' = (2/3) * 3x^2 - 17 * 2x + 60 = 2x^2 - 34x + 60.
2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение:

• 2x^2 - 34x + 60 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 * 2 * 60 = 1156 - 480 = 676.
• Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a):
• x1 = (34 + √676) / 4 = (34 + 26) / 4 = 15,
• x2 = (34 - √676) / 4 = (34 - 26) / 4 = 2.
3. Определить знаки производной на интервалах.

Теперь мы имеем критические точки x = 2 и x = 15. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 2),
• (2, 15),
• (15, +∞).

Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов, подставив тестовые точки:

• Для интервала (-∞, 2), возьмем x = 0: y'(0) = 2(0)^2 - 34(0) + 60 = 60 (положительно).
• Для интервала (2, 15), возьмем x = 10: y'(10) = 2(10)^2 - 34(10) + 60 = 200 - 340 + 60 = -80 (отрицательно).
• Для интервала (15, +∞), возьмем x = 20: y'(20) = 2(20)^2 - 34(20) + 60 = 800 - 680 + 60 = 180 (положительно).
4. Сделать выводы о монотонности и экстремумах.

Из анализа знаков производной мы можем сделать следующие выводы:

• На интервале (-∞, 2) функция возрастает (производная положительна).
• На интервале (2, 15) функция убывает (производная отрицательна).
• На интервале (15, +∞) функция снова возрастает (производная положительна).

Таким образом, мы имеем:

• Точка x = 2 является максимумом (функция меняет знак производной с положительного на отрицательный).
• Точка x = 15 является минимумом (функция меняет знак производной с отрицательного на положительный).

Теперь вы можете использовать эту информацию для нахождения значений функции в точках экстремумов, подставив x = 2 и x = 15 в исходную функцию y.