Какое количество людей из 100 знает только немецкий язык, если общее количество знающих английский - 85, испанский - 80, немецкий - 75, и все владеют языками? Известно, что 4 человека владеют английским и испанским, 15 - испанским и немецким, и 3 человека знают все три языка.

Математика 11 класс Теория множеств количество людей 100 человек немецкий язык английский язык испанский язык владение языками математическая задача комбинаторика пересечение множеств решение задачи Новый

Давайте решим задачу, используя метод включений и исключений. Мы обозначим:

• A - количество людей, знающих английский язык;
• B - количество людей, знающих испанский язык;
• C - количество людей, знающих немецкий язык;

По условию задачи у нас есть следующие данные:

• A = 85;
• B = 80;
• C = 75;
• |A ∩ B| = 4 (знают английский и испанский);
• |B ∩ C| = 15 (знают испанский и немецкий);
• |A ∩ B ∩ C| = 3 (знают все три языка).

Теперь мы можем найти количество людей, знающих только один язык. Начнем с английского:

1. Количество людей, знающих только английский язык, можно найти по формуле:
|A| - |A ∩ B| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
2. Сначала найдем |A ∩ C| (количество людей, знающих английский и немецкий). Мы знаем, что:
|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C| - |U|, где |U| - общее количество людей (100).
3. Подставим известные значения:
|A ∩ C| = 85 + 75 - 4 - 15 - 3 - 100 = 38.
4. Теперь подставим все значения в формулу для |A|:
|A| - |A ∩ B| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 85 - 4 - 38 + 3 = 46.

Таким образом, 46 человек знают только английский язык.

Теперь найдем количество людей, знающих только испанский язык:

1. По аналогичной формуле:
|B| - |A ∩ B| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 80 - 4 - 15 + 3 = 64.

Итак, 64 человека знают только испанский язык.

Теперь найдем количество людей, знающих только немецкий язык:

1. Для этого используем аналогичную формулу:
|C| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 75 - 38 - 15 + 3 = 25.

Таким образом, 25 человек знают только немецкий язык.

В итоге, количество людей, знающих только немецкий язык, равно 25.