Какое максимальное значение может иметь функция y=24tgx - 24x + 6п - 5 на отрезке [-п/4; п/4]?

Математика 11 класс Исследование функций и нахождение экстремумов максимальное значение функции y=24tgx отрезок [-п/4; п/4] математика 11 класс анализ функции тригонометрические функции оптимизация функции Новый

Чтобы найти максимальное значение функции y = 24tg(x) - 24x + 6π - 5 на отрезке [-π/4; π/4], мы будем следовать нескольким шагам:

1. Найдем производную функции.

   Для этого сначала найдем производную от функции y:

   y' = 24 * (sec²(x)) - 24.

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную y' равной нулю:

   24 * (sec²(x)) - 24 = 0

   sec²(x) = 1

   Это уравнение выполняется, когда cos(x) = ±1, что происходит в точках x = 0.

3. Проверим значения функции на границах отрезка и в критической точке.

   Теперь подставим значения x = -π/4, x = 0 и x = π/4 в исходную функцию y:

   • Для x = -π/4:

     tg(-π/4) = -1, следовательно:

     y(-π/4) = 24 * (-1) - 24 * (-π/4) + 6π - 5 = -24 + 6π + 6 = 6π - 18.

   • Для x = 0:

     tg(0) = 0, следовательно:

     y(0) = 24 * 0 - 24 * 0 + 6π - 5 = 6π - 5.

   • Для x = π/4:

     tg(π/4) = 1, следовательно:

     y(π/4) = 24 * 1 - 24 * (π/4) + 6π - 5 = 24 - 6π + 6π - 5 = 19.

4. Сравним найденные значения.

   Теперь сравним значения функции:

   • y(-π/4) = 6π - 18 ≈ 6 * 3.14 - 18 ≈ 18.84 - 18 = 0.84;
   • y(0) = 6π - 5 ≈ 18.84 - 5 = 13.84;
   • y(π/4) = 19.
5. Определим максимальное значение.

   Максимальное значение функции на отрезке [-π/4; π/4] равно 19, которое достигается при x = π/4.

Ответ: Максимальное значение функции y на отрезке [-π/4; π/4] равно 19.