Какое значение принимает функция f(x) = - 5/x + 5/(x - 2) в точке, где она достигает максимума?

Математика 11 класс Исследование функций и нахождение экстремумов значение функции f(x) = -5/x + 5/(x-2) максимум функции математика 11 класс анализ функции Новый

Чтобы найти значение функции f(x) = -5/x + 5/(x - 2) в точке, где она достигает максимума, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции.

Сначала мы найдем производную функции f(x). Это поможет нам определить, где функция достигает максимума или минимума. Используем правило дифференцирования для дробей:

• Производная -5/x равна 5/x^2.
• Производная 5/(x - 2) равна -5/(x - 2)^2.

Таким образом, производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = 5/x^2 - 5/(x - 2)^2.

Шаг 2: Найти критические точки.

Теперь мы приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

5/x^2 - 5/(x - 2)^2 = 0.

Упростим это уравнение:

• 5/x^2 = 5/(x - 2)^2.
• 1/x^2 = 1/(x - 2)^2.

Теперь, если мы возьмем квадратный корень с обеих сторон, получим:

1/x = 1/(x - 2) или 1/x = -1/(x - 2).

Шаг 3: Решить уравнения.

Решим первое уравнение:

• 1/x = 1/(x - 2) приводит к x - 2 = x, что невозможно.

Решим второе уравнение:

• 1/x = -1/(x - 2) приводит к x - 2 = -x, что дает 2x = 2, или x = 1.

Шаг 4: Проверка на максимум.

Теперь нужно проверить, является ли x = 1 точкой максимума. Для этого мы можем использовать второй производной тест или просто подставить значение в первую производную:

• f'(x) меняет знак в точке x = 1, что указывает на максимум.

Шаг 5: Найти значение функции в точке максимума.

Теперь, когда мы знаем, что максимум достигается в точке x = 1, подставим это значение в исходную функцию:

f(1) = -5/1 + 5/(1 - 2) = -5 - 5 = -10.

Ответ: Значение функции f(x) в точке, где она достигает максимума, равно -10.