Какое наибольшее значение функции y=sin² x - √3 sin x +1 - √3 на отрезке [π;2π]?

Математика 11 класс Исследование функций и нахождение экстремумов Наибольшее значение функции y=sin² x √3 sin x отрезок [π;2π] математика 11 класс задачи по математике анализ функции тригонометрические функции Новый

Для нахождения наибольшего значения функции y = sin² x - √3 sin x + 1 - √3 на отрезке [π; 2π], давайте сначала упростим выражение.

Функцию можно переписать следующим образом:

y = sin² x - √3 sin x + (1 - √3).

Теперь обозначим sin x как t. Тогда, так как x находится в интервале [π; 2π], t будет изменяться от -1 до 0 (поскольку sin x принимает значения от -1 до 0 в этом интервале).

Теперь подставим t в функцию:

y = t² - √3 t + (1 - √3).

Это квадратная функция относительно t. Теперь найдем ее максимум, используя свойства квадратной функции. Квадратичная функция имеет вид:

y = at² + bt + c, где a = 1, b = -√3, c = 1 - √3.

Коэффициент a положителен (a = 1), значит, график функции - это парабола, открытая вверх. Максимум будет находиться либо в вершине параболы, либо на краях отрезка.

Вершина параболы находится по формуле t = -b/(2a):

1. Находим b: b = -√3.
2. Находим a: a = 1.
3. Подставляем в формулу: t = -(-√3)/(2*1) = √3/2.

Теперь проверим, попадает ли t = √3/2 в наш интервал [-1, 0]. Поскольку √3/2 примерно равно 0.866, это значение не попадает в интервал [-1, 0]. Таким образом, максимум будет находиться на границах отрезка.

Теперь вычислим значения функции y на границах отрезка:

1. Для x = π:
   • sin(π) = 0, следовательно, y = 0² - √3*0 + 1 - √3 = 1 - √3.
2. Для x = 2π:
   • sin(2π) = 0, следовательно, y = 0² - √3*0 + 1 - √3 = 1 - √3.

Таким образом, значения функции на границах отрезка [π; 2π] равны и составляют 1 - √3.

Теперь можем заключить, что наибольшее значение функции y на отрезке [π; 2π] равно 1 - √3.