Какое наименьшее количество единиц может быть в числе, состоящем из 11...11, если оно делится на 119? Тот, кто ответит, получит 30 баллов.

Математика 11 класс Делимость чисел наименьшее количество единиц число 11...11 делимость на 119 задача по математике решение уравнения 11 единиц математическая задача минимальное количество единиц

Наименьшее количество единиц в числе, состоящем из 11...11, которое делится на 119, равно 6.

Чтобы найти наименьшее количество единиц в числе, состоящем из 11...11, которое делится на 119, давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Определим структуру числа

Число, состоящее из 11...11, можно представить как 1, 11, 111, 1111 и так далее. В общем виде, такое число с n единицами можно записать как:

• 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10^1 + 10^0 = (10^n - 1) / 9

Шаг 2: Найдем делимость на 119

Для того чтобы число делилось на 119, оно должно удовлетворять условию:

• (10^n - 1) / 9 ≡ 0 (mod 119)

Это эквивалентно тому, что:

• 10^n - 1 ≡ 0 (mod 119)

То есть, 10^n ≡ 1 (mod 119).

Шаг 3: Найдем порядок числа 10 по модулю 119

Порядок числа по модулю 119 - это наименьшее целое число d, такое что 10^d ≡ 1 (mod 119). Для нахождения порядка нужно выяснить, какие делители имеет 119:

• 119 = 7 * 17

Теперь найдем порядок 10 по модулю 7 и 17.

Шаг 4: Вычислим порядок по модулю 7

• 10 ≡ 3 (mod 7)
• Проверяем степени: 3^1 ≡ 3, 3^2 ≡ 2, 3^3 ≡ 6, 3^4 ≡ 4, 3^5 ≡ 5, 3^6 ≡ 1 (mod 7)

Таким образом, порядок 10 по модулю 7 равен 6.

Шаг 5: Вычислим порядок по модулю 17

• 10 ≡ 10 (mod 17)
• Проверяем степени: 10^1 ≡ 10, 10^2 ≡ 15, 10^3 ≡ 14, 10^4 ≡ 4, 10^5 ≡ 13, 10^6 ≡ 11, 10^7 ≡ 8, 10^8 ≡ 12, 10^9 ≡ 1 (mod 17)

Таким образом, порядок 10 по модулю 17 равен 16.

Шаг 6: Найдем наименьшее общее кратное

Теперь мы можем найти наименьшее общее кратное (НК) порядка 10 по модулю 7 и 17:

• НК(6, 16) = 48

Шаг 7: Определим наименьшее количество единиц

Таким образом, наименьшее n, такое что 10^n ≡ 1 (mod 119), равно 48. Это означает, что число, состоящее из 48 единиц, будет делиться на 119.

Следовательно, наименьшее количество единиц в числе, состоящем из 11...11, которое делится на 119, равно 48.

Ответ: 48.