Наименьшее количество единиц в числе, состоящем из 11...11, которое делится на 119, равно 6.

Чтобы найти наименьшее количество единиц в числе, состоящем из 11...11, которое делится на 119, давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Число, состоящее из 11...11, можно представить как 1, 11, 111, 1111 и так далее. В общем виде, такое число с n единицами можно записать как:

• 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10^1 + 10^0 = (10^n - 1) / 9

Для того чтобы число делилось на 119, оно должно удовлетворять условию:

• (10^n - 1) / 9 ≡ 0 (mod 119)

Это эквивалентно тому, что:

• 10^n - 1 ≡ 0 (mod 119)

То есть, 10^n ≡ 1 (mod 119).

Порядок числа по модулю 119 - это наименьшее целое число d, такое что 10^d ≡ 1 (mod 119). Для нахождения порядка нужно выяснить, какие делители имеет 119:

• 119 = 7 * 17

Теперь найдем порядок 10 по модулю 7 и 17.

• 10 ≡ 3 (mod 7)
• Проверяем степени: 3^1 ≡ 3, 3^2 ≡ 2, 3^3 ≡ 6, 3^4 ≡ 4, 3^5 ≡ 5, 3^6 ≡ 1 (mod 7)

Таким образом, порядок 10 по модулю 7 равен 6.

• 10 ≡ 10 (mod 17)
• Проверяем степени: 10^1 ≡ 10, 10^2 ≡ 15, 10^3 ≡ 14, 10^4 ≡ 4, 10^5 ≡ 13, 10^6 ≡ 11, 10^7 ≡ 8, 10^8 ≡ 12, 10^9 ≡ 1 (mod 17)

Таким образом, порядок 10 по модулю 17 равен 16.

Теперь мы можем найти наименьшее общее кратное (НК) порядка 10 по модулю 7 и 17:

• НК(6, 16) = 48

Таким образом, наименьшее n, такое что 10^n ≡ 1 (mod 119),равно 48. Это означает, что число, состоящее из 48 единиц, будет делиться на 119.

Следовательно, наименьшее количество единиц в числе, состоящем из 11...11, которое делится на 119, равно 48.